Фурье ряды при задачах на кручение

Прямоугольное поперечное сечение. Решение задачи кручения для прямоугольного сечения удается получить только в виде ряда Фурье. При этом можно отыскивать в виде ряда или решение гармонического уравнения Лапласа для функции депланации ф, или решение уравнения Пуассона для ф. Пусть прямоугольная область задана при —Ь < л < й, —а < у < а (см. рис. 7.11). Вследствие симметрии функция кручения Прандтля должна быть четной относительно хну. Для дифференциального уравнения Аф = О с граничным условием ф/г = О функция ( 2 — х ) как частное решение для узкого прямоугольника при Ь а уже рассматривалась. Естественно поэтому ввести [c.163]

Остановимся на частном случае общей задачи, которая допускает разложение общей системы разрешающих уравнений на ряд систем для отдельных гармоник. Это накладывает ограничение на распределение механических характеристик материала, которые не должны изменяться в окружном направлении. При этом предполагается, что зоны взаимодействия между телами охватывают полную окружность, т. е. не зависят от координаты 0. Будем также предполагать, что рассматриваемая задача имеет хотя бы одну меридиональную плоскость симметрии, чтобы при разложении в ряды Фурье радиальных и осевых компонентов объемной и поверхностной нагрузки, заданных перемещений и , и , температуры оставить только члены разложения по косинусам, а для компонентов перемещений и нагрузки окружном направлении — по синусам. Для нулевой гармоники удержим и окружные компоненты перемещений и нагрузки, чтобы можно было рассматривать осесимметричную задачу с деформациями типа кручения В этом случае общая система уравнений (V.8) распадается на п отдельных систем более простого вида [c.169]

Можно получить решение задачи о кручении стержня прямоугольного сечения, ортотропного и однородного, и в другой форме — в виде двойного тригонометрического ряда. В этом случае поместим начало координат в одном из углов сечения и направим оси x у ло сторонам. Разложив правую часть уравнения (52.13) в двойной ряд Фурье [c.281]

Метод решения задачи — такой же, как и соответ-ствуюш ей задачи о кручении однородного стержня. Разложим правую часть (58.1) в ряд Фурье по синусам и иш ем выражение для г]), заранее удовлетворяюш ее условиям на двух сторонах х = О я х = а. [c.290]

Действие усилий, распределенных вдоль боковой поверхности круглого вала, приводящее к его закручиванию, рассмотрели Н. В. Зволинский и П. М. Риз (1939), которые изучили равномерное и линейное распределение нагрузки. Более общий случай призматического стержня рассмотрели Л. С. Гильман и С. С. Голушкевич (1943) и П. М. Риз (1940). В статье Л. С. Гильмана (1937) решена задача о кручении упругого кольца парами, равномерно распределенными вдоль оси его. Случай равномерно распределенных вдоль образующих цилиндра скручивающих касательных усилий изучался С. А. Банановым (1959). Кручение сплошного и полого круговых цилиндров осесимметрично распределенными поверхностными нагрузками рассмотрел при помощи рядов Фурье — Бесселя В. И. Блох (1954, 1956) к той же проблеме для сплошного цилиндра возвращался П. 3. Лившиц (1962). Задачу о кручении анизотропного стержня усилиями, распределенными вдоль его боковой поверхности, решил С. Г. Лехницкий (1961). [c.31]

Но поскольку мы хотим сделать элементарной нашу теорию кручения, найдем эти значения простым методом, который был применен Лагранжем (Lagrange) ) в задаче о колебаниях струн, а затем Эйлером ) и Фурье ) в других случаях, чтобы выразить какую-либо функцию в виде периодического ряда. Разложив уравнение (151) в ряд [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...