Дифференциальное уравнение в теорема о структуре решения

Приведем простейшие сведения из теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и, в частности, теорему Флоке, которая определяет структуру решения системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. В общем случае теорема формулируется так система с п степенями свободы, описываемая дифференциальным уравнением порядка 2п с периодическими коэффициентами периода Т, имеет 2п линейно независимых решений, образующих фундаментальную систему, причем каждое из этих решений имеет вид Xi t) = Ф (i) exp(Aii), где Фi(i) — периодическая функция с периодом Т. Экспоненты exp(Aii) называют ляпунов-скими экспонентами, числа — ляпуновскими характеристическими показателями, а Ф ( ) — функциями Флоке. [c.219]

Решение этого дифференциального уравнения для непрерывной функции (г) представляет собой несравненно более сложную математическую задачу, нежели решение матричных уравнений (8.11) или (9.1) для амплитуд в узлах П1. Даже в случае упорядоченного кристалла, когда применение теоремы Блоха ( 1.1) чрезвычайно сильно упрощает рассмотрение, проблема зонной структуры породила обширную литературу, посвященную разработке специфических математических методов, исследованию физических аспектов проблемы и сложным расчетам. Но хотя трудность обобщения этих методов применительно к системам без трансляционной симметрии очевидна, это не должно останавливать нас, ибо неупорядоченные металлы — в виде сплавов или в жидком состоянии — представляют собой слишком важный объект современного мира, чтобы теоретическая физика могла позволить себе их игнорировать [c.453]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...