Использование кубатурных формул

На практике обычно используются приближенные методы, из которых наиболее эффективным является зональный метод [58—61]. К приближенным методам относятся также вариационные методы [71], методы оптимальных коэффициентов, методы с использованием кубатурных формул. [c.126]

Использование кубатурных формул [c.104]

Заметим, что в постановке приближенЕюй задачи (4.172) содержится предположение о том, что формы а и, о) и (/, о) на элементах из У ft вычисляются точно, т. е. здесь игнорируется ошибка, возникающая при использовании квадратурных (кубатурных) формул и из-за ограниченности разрядной сетки ЭВМ. (Исследование влияния данного типа ошибок выходит за рамки настоящего пособия.) [c.192]

Учитывая большое число монографий по методу конечных элементов, традиционные математические основы этого метода мы изложим кратко. Подробнее рассмотрены актуальные технические вопросы, которые в книгах освещены слабее способы триангуляции двумерных и трехмерных областей, экономичные кубатурные формулы и использование смешанного метода как систематического аппарата для замены обременительных главных условий в базисных подпространствах на естественные условия. Такая замена, например, позволяет упростить работу с неоднородными краевыми условиями Дирихле, свести бигармоннческое уравнение к системе уравнений второго порядка, снять весьма неудобное требование соленоидальности базисных функций в задачах Стокса и Навье - Стокса. [c.7]

Отметим также, что все перечисленные в гл. 2 конечные злементы используются для решения уравнений второго порядка, когда ш = 1, в условиях положительной определенности и ограниченности и /. И только одии прямоугольный эрмитов элемент степени 3 может быть использован для решения задач с т = 2, т.е. уравнений четвертого порядка. По этой причине мы будем рассматривать квадратурные формулы лишь для решения уравнений второго порядка (ш = 1). И только в виде исключения укажем кубатурную формулу для указанного элемента при решении уравнений 4-го порядка. [c.105]

Для лагранжева элемента степени 1 следует взять формулу № 2 из табл. 3.2. Она точна для многочленов Ql и дает такой же вклад, как и погрешность аппроксимации билинейными конечными элементами. Такую же точность дает кубатурная формула (средней точки) № 1. Но ее использование не дает условия (3.4) положительной определенности приближенной билинейной формы из-за малого числа узлов. На основании теоремы 4.1.2 из [75] их надо не менее 3. В итоге, используя формулу № 1 для формирования й, получаем неустойчивую проекционно-сеточную схему. Вместе с тем, формулу № 1 можно использовать для вычисления //,( ) [c.108]

Еще большую точность дает декартово произведение двухточечных квадратурных формул Гаусса [62]. Оно будет точно на Сз, а узлов у него столько же, сколько у формулы № 2. По сравнению с формулой № 2 для уравнения с постоянными коэффициентами его использование предпочтительнее, а для переменных коэффициентов — в 4 раза более трудоемкое. В самом деле, каждый узел формулы № 2 является, как правило, вершиной четырех четырехугольников триангуляции. Поэтому при ор(с ) > 1 фактическая стоимость формулы № 2 на четырехугольной триангуляции оценивается величиной ор р), а кубатурной формулы Гаусса —4 ор. [c.108]

Для лагранжева элемента степени 1 следует взять формулу № 2 из табл. 3.4. Она сохраняет порядок точности аппроксимации трилинейными конечными элементами. Такую же точность дает кубатурная формула средней точки N 1. Но ее использование не дает условия (ЗА), положительной определенности формы из-за малого числа узлов. На основании теоремы 4.1.2 из [75] их надо не менее 7. В итоге использование формулы № 1 ограничено вычислениями только для/й( ). [c.110]

Учет краевого условия второго и третьего рода осуществляется дополнительными слагаемыми непосредственно в билинейной форме и функционале (см. п. 1.1.4) и здесь не возникает вопроса о наложении дополнительных условий на базисные функции. Поэтому при использовании изопара-метрической аппроксимации области алгоритмическое отличие от главного краевого условия состоит в применении квадратурных или кубатурных формул для вычисления граничных интегралов. Участки границы Г заменяются на аппроксимирующие их многообразия из Г ,. Теоретическое обоснование точности снова з тывает изменение области, погрешность численного интегрирования и опирается на теорему 3.9. В итоге оно, в принципе, мало отличается от приводимого для первой краевой задачи и дает аналогичный результат, описывающий точность получаемого приближенного решения А именно, при изопараметрической аппроксимации области выбор на Гй квадратурных формул подходящей степени приводит к такому же порядку точности приближенного решения м , как и при точном интегрировании по Г. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...