Особенности поведения нелинейных систем и методы их исследования

Основным методом исследования, применяемым в данной работе, является метод многолистной фазовой поверхности и фазового пространства. Этот метод, разработанный академиком Андроновым А. А. и его учениками и последователями [Л. 1, 2, 4, 6—8, 11—14, 21 и 22], позволяет весьма эффективно исследовать поведение релейных систем как при переходных процессах, так и в установившихся режимах. Обычно исследование методом фазового пространства считается качественным исследованием поведения системы, позволяющим определить только характер, типы движений. Мы считаем, что этот метод, особенно в случаях, когда задача может быть сведена к плоской фазовой картине, является методом количественного исследования, т. е. методом инженерного расчета, часто приводящим к цели быстрее других методов. Это особенно ярко проявляется в тех случаях, когда для построения фазовой траектории могут быть использованы шаблоны. Изменяемость структуры линейной части релейной системы не приводит к каким бы то ни было дополнительным трудностям в применяемом методе. Более того, для рассматриваемого класса систем вообще не требуется разделения на линейную часть и релейный элемент линейной части вообще может не быть, вместо нее имеется непрерывная часть , описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.6]

НОВЫЙ качественный подход к анализу проблемы п тел. Позднее в гамильтоновой динамике зародились два различных направления ( ) исследование динамической сложности, возникающей в этой задаче из-за определенной гиперболичности (Алексеев, Конли), и Ш) анализ интегрируемых систем и их возмущений, который привел к КАМ-теории. Хотя и гиперболическая, и интегрируемая модели были известны еще со времен Пуанкаре, потребовался глубокий анализ Колмогорова, для того чтобы осознать, что многие качественные особенности (весьма специальных) интегрируемых систем в определенной степени сохраняются под действием возмущений, а также возникают в типичных ситуациях (например, вблизи неподвижной эллиптической точки). На развитие обоих этих направлений повлиял вопрос об устойчивости солнечной системы, который изучался в рамках гиперболического подхода в терминах устойчивости системы п тел и в рамках КАМ-теории посредством анализа возмущений, например, (интегрируемой) системы центральных сил без учета взаимодействий между планетами. В работе Конли и Цендера была установлена взаимосвязь топологических и вариационных методов, ставшая краеугольным камнем современной глобальной симплектической геометрии. Возрождение анализа вполне интегрируемых систем началось с работы Гарднера, Грина, Крускала и Миуры и открытия П. Лаксом новых методов построения интегрируемых систем. Это привело к быстрому увеличению числа новых интересных примеров конечномерных интегрируемых систем, а также к построению теории бесконечномерных гамильтоновых систем. Применение этой теории к изучению нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных стало крупным достижением впервые в ситуациях, когда асимптотическое поведение уже не может быть названо тривиальным, появились средства для законченного качественного анализа. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...