Симметрии и линейные интегралы

Симметрии и линейные интегралы [c.91]

Хорошо известно, что наличие линейных по импульсам (или скоростям) первых интегралов тесно связано с группами симметрий, действующих на пространстве положений (см. п. 6 введения). Оказывается, наличие линейных интегралов налагает ограничения не только на риманову метрику (кинетическую энергию) и потенциал силового поля, но и на топологию пространства положений. [c.150]

Предположим, что система (8.4) имеет к независимых интегралов Fi,..., и I полей симметрий и ,..., щ, линейно независимых в точках периодической траектории 7. Из теорем 1 и 2 вытекает, что характеристическое уравнение Р — рЕ = О имеет корень р = 1 кратности не мепее шах(А ,/ - 1). При некоторых дополнительных предположениях эту оценку можно улучшить. [c.223]

Отметим, что аналогичный результат для системы с линейными по импульсам интегралами заключается в том, что эти интегралы всегда оказываются связанными с существованием группы симметрий в конфигурационном пространстве и с циклической переменной. В этом случае, хотя бы локально, всегда возможно соответствующее понижение порядка. [c.82]

При выводе (60,13) существенно использована также возможность переставить в интеграле столкновений начальное и конечное состояния, после чего становится очевидным сокращение линейных по Ag членов кроме того, это позволяет производить интегрирование по всему -пространству. В 41 такое преобразование было сделано в силу симметрии по отношению к обращению времени, связывающей вероятности прямого и обратного столкновений. При наличии магнитного поля такая симметрия имеет место только при условии изменения направления поля В иа обратное, так что она связывает вероятности столкновения по существу в различных полях. Однако, мы увидим ниже, что в данном случае симметрия относительно обращения времени восстанавливается интегрированием по прицельным параметрам. [c.313]

В гамильтоновой механике особую роль играют группы симметрий, порождаемые гамильтоновыми системами если функции Я и F находятся в инволюции, то фазовый поток гамильтоновой системы с гамильтонианом F переводит решения уравнений Г амильтона с гамильтонианом Н в решения тех же уравнений. Таким образом, задача о группах симметрий уравнений Гамильтона содержит как частный случай задачу о первых интегралах. Нётеровы симметрии порождаются линейными интегралами F = р - v q). [c.14]

Для возмуш енпого линейного осциллятора с вязким трением х- -2пх - -кх = /( ) найти две группы дивергентных симметрий (см. задачу 20.66), соответствуюш ие первые интегралы и построить обш ее решение х 1, С2)- Рассмотреть три случая [c.216]

Как известно, существование первых интегралов связано с наличием некоторого поля симметрий и с возможностью понижения порядка — по крайней мере локально. Это известная теорема Нётер, использование которой для гамильтоновых систем с линейными по импульсам интегралами связано с некоторыми упрощениями. Для простоты мы рассмотрим каноническую ситуацию, хотя рассуждения без труда переносятся и на общие уравнения Пуанкаре-Четаева, в частности, на уравнения динамики твердого тела в матричных реализациях групп Ли (задающих конфигурационные пространства). [c.221]

Этот результат усиливает теоремы 1 и 2 1, так как любой интеграл, независимый с интегралом энергии, порождает нетривиальное поле симметрий, В частности, из теоремы 1 вытекает отсутствие многозначных аналитических интегралов. Основная трудность в доказательстве теоремы 1 состоит в том, чтобы установить линейную зависимость векторов и, v во всех точках Eh. Так как г О, то и = Xv. Известно (см. 3 гл, П), что Л — интеграл гамильтоновой системы на Eh. Поскольку Л — аналитическая функция и род М больше единицы, то Л = onst по теореме 2 из 1, [c.153]

Н, Fi,..., Fk и А + 1 линейно независимых полей симметрий ими являются гамильтоновы поля vh, 1 ,,..., г / . Эти интегралы попарно находятся в инволюции, поэтому каждая из с )уикций Н, Fi,...,Fk — интеграл каждой из систем уравнений z = ни, z = vf ,. .., z = Vfi,. Согласно теореме 3, по крайней мере 2(А - -1) —1 = 2А - -1 мультипликаторов периодической траектории 7 равны единице. [c.225]

Строение линейных по скорости интегралов натуральных механических систем и их связь с группами симметрий было исследовано в работе Мориса Леви 1878 года (за 40 лет до публикации Эмми Нетер). В дифференциальной геометрии (где роль кинетической энергии играет риманова метрика) поля симметрий обычно называются полями Киллинга они изучались Киллингом в работе 1892 года. [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...