Гамильтоновы системы как канонические отображения

Этот поразительный результат был впервые получен Гамильтоном, хотя и в несколько другой интерпретации. Он по-новому освещает роль канонических преобразований при изучении движения. Все движение механической системы может рассматриваться как задача о преобразованиях. Последовательные положения фазовой жидкости представляют собой непрерывно меняющееся отображение пространства самого на себя. Это отображение все время каноническое. [c.254]

Пусть IV есть прямая сумма ортогональных подпространств. .., и спектр Д лежит в их объединении 0 W . Через И ,..., обозначим образы 1У], ..., при отображении А — . Легко понять, что система (4.2) распадается на р замкнутых подсистем с фазовыми пространствами Wi х W С С X . Пусть Щ — ограничение функции Гамильтона Я на Wi X W . Тогда Я = Н . Если базисные векторы. .., е принадлежат объединению и. .. и 1Ур, то в соответствующих канонических переменных уравнения (4.3) раз-, биваются на р замкнутых гамильтоновых систем с функциями Гамильтона Н (т. е. происходит частичное разделение переменных) при этом говорят, что исходная гамильтонова система есть прямая сумма своих подсистем. Если такое разложение (в сумму нетривиальных подпространств 1У,) невозможно, назовем гамильтонову систему неприводимой. Имеет место очевидное [c.389]

В главе 6 предлагается способ нормализации, отличный от классического и основанный на применении к 2я-периодической по t гамильтоновой системе метода точечных отображений. При нахождении точечного отображения используется тот факт, что преобразование фазового пространства, осуществляемое движениями гамильтоновой системы, является каноническим и находится не само отображение, а его производящая функция 8, удовлетворяющая уравнению Гамильтона — Якоби. При нахождении коэффициентов производящей функции, конечно, нужно проинтегрировать от = О до = 2я некоторую систему обыкновенных дифференциаль- [c.12]

При = О собственные значения матрицы монодромии уравнения (5.17) при отображении за периоды 2тг и 2т равны соответственно Л12 = и /Х12 = Очевидно, что /х12 Ф 1 при о О и Л1,2 Ф если о 1/4 -Ь /гтг, к е Ъ. Из соображений непрерывности ясно, что при о 1/4 -Ь тг и малых О собственные значения /Х1,2 не являются корнями из единицы, и А1 2 ф г (это свойство, в действительности, имеет место для почти всех о и ). Следовательно, по теореме 1, уравнение (5.17) в этих случаях неинтегрируемо в комплексной области. Отметим, что в действительной области это уравнение вполне интегрируемо оно имеет аналитический интеграл Г г, г, I), 2тг-периодический по Ь. Дело в том, что линейной канонической заменой переменных, 2тг-периодической по I, уравнение (5.17) можно привести к линейной автономной гамильтоновой системе с одной степенью свободы тогда в качестве функции Г можно взять функцию Гамильтона автономной системы. [c.367]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...