ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " Вихри с интенсивностями Г1 = -Гг = Г 0 расположены в точках с координатами (О, а). [c.279] что невозмущенное стационарное поле скоростей имеет две гиперболические особые точки ( /За, 0), соединенные тремя парами сдвоенных сепаратрис (фазовый портрет системы изображен на рис. 8). Как показано выше, эти пары сепаратрис расщепляются и трансверсально пересекаются при добавлении малого возмущения еН = ехсозХЬ для почти всех значений Л. При малых е ф О вблизи расщепленных сепаратрис будем иметь острова с хаотическим поведением траекторий частиц жидкости. [c.279] На рис. 25 этот результат иллюстрируется численными расчетами для значений Г, а и Л, равных единице. Отмечены положения выделенных частиц жидкости через промежутки времени, равные 2тг. Рис. 25, а соответствует невозмущенной задаче. Явления расщепления сепаратрис и образования стохастических слоев хорошо видны на рис. 25, б, в (им отвечают соответственно значения е = = 0,1 и е = 0,5). На рис. 25, г показана отдельная траектория для значения е = О, 5. [c.279] Заметим, что матрица В в интегрируемом случае Стеклова определяется условием (4.2) (см. соотношение (5.6) гл. II). Условие (4.3) дает интегрируемый случай Клебша (см. (5.5) в гл. II). Интересно отметить совпадение вида условий (4.2) и (4.3). [c.280] Следствие. В общем случае уравнения Кирхгофа неинтегрируемы. [c.280] Тогда при всех значениях е уравнения Кирхгофа имеют частный интеграл Гесса—Аппельрота Г = т 02 — 01 тзу/аз - 02. При малых значениях параметра е сепаратрисы задачи Эйлера Гк = = Д (А = 1,2,3), F = 0 останутся сепаратрисами возмущенных периодических решений (4.4). [c.282] Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 26. Здесь приняты следующие значения для диагональных элементов матриц А и В ai = 1/3, яг = 1/2, яз = 1 61 = 3, Ьг = 2, Ьз = 1- Видно, что условие (4.2) заведомо выполнено. На рис. 26, а изображены траектории в интегрируемом случае Стеклова, когда i = 3, сг = = 8, Сз = 1. Затем параметр i начинает увеличиваться. Рис. 26, б отвечает значению i = 5, а рис. 25 в — значению j = 10. Хорошо видно, что картина интегрируемого поведения фазовых траекторий начинает разрушаться как раз вблизи сепаратрис. По мере удаления от интегрируемой задачи стохастический слой около расщепленных сепаратрис начинает расплываться . На рис. 26, г изображена картина пересечения сепаратрис при следующих значениях параметров bi = 0,1, Ьг = Ьз = 0 i = 3, сг = 8, сз = 1. Ясно видно, что гетероклинная сеть пересекающихся сепаратрис повторяется с периодом тт. Это — следствие инвариантности задачи при подстановке m -m, р -р (ср. с п. 1). Результаты расчетов показывают, в частности, что условие (4.2) не является достаточным для интегрируемости уравнений Кирхгофа. [c.283] Это рассуждение, конечно, не проясняет особенности поведения вещественных траекторий задачи Кирхгофа. Однако оно позволяет полностью решить задачу об аналитических интегралах уравнений Кирхгофа в несимметричном случае. [c.285] Теорема 2. При а = агф аз дополнительный аналитический интеграл уравнений (4.1) существует лишь в случае Кирхгофа (Ьх = Ь2, С1 = Сг). [c.285] Отметим, что при ах = агф аз известные интегрируемые задачи переходят в случай Кирхгофа (см. п. 3 5 гл. II). [c.285] В [148] рассмотрена также более сложная задача о дополнительных частных интегралах. По определению, функция Г—частный интеграл, если Р = О на поверхности = О, и если на этой поверхности функции Fl, Fз и F почти всюду независимы. [c.285] Теорема 3. Пусть В = 0. Тогда аналитический частный интеграл уравнений (4.1) существует лишь в случаях Кирхгофа и Чаплыгина последний случай интегрируемости — частный, см. п. 3 5 гл. II). [c.285] В [148] получены некоторые необходимые условия интегрируемости в предположении ах = а2 = аз. Но они, по-видимому, не являются достаточными. [c.285] Здесь I — матрица, обратная к А, J = С, и) = Ат, е = р. Мы предполагаем, что ах = аг следовательно, Д = /г. [c.285] В уравнениях (4.8) можно перейти к ограниченной задаче, заменив /з, J и J2 соответственно на /i/з, /iJi и ,J2, где О /i 1. Оказывается, что в случае J ф J2 при малых значениях ц О уравнения (4.8) не имеют нетривиального поля симметрий с аналитическими компонентами [92]. Доказательство проводится методом п. 4 3. [c.286] С помощью методов 1 нетрудно установить наличие трансверсального пересечения сепаратрис для уравнения (4.10) при малых значениях е ф О (см. также [132]). Отсюда вытекает, в частности, неинтегрируемость уравнения (4.10). Поскольку свойство рас-шепления сепаратрис устойчиво по отношению к малым возмущениям, то исходные уравнения (4.8) также неинтегрируемы при малых значениях /i 0. [c.286] Вернуться к основной статье