Фазовые портреты в окрестности периодических движений

Фазовые портреты в окрестности периодических движений [c.108]

При выполнении условия (4.54) кривая Q(x) не пересекает оси абсцисс (рис. 4.2), уравнение (4.36) не имеет корней, нет стационарных точек на фазовом портрете и нет области периодических движений в окрестности резонанса (4.6). [c.141]

Вместо того чтобы анализировать отдельные решения, изучим характер векторного поля на фазовой плоскости [3]. Фазовый портрет рассматриваемого движения изображен на рис. 14. Параметром служит величина В. Две стационарные точки — седло (О, 0) и центр (2, 0) — соответствуют равномерному по углу ф стоку и источнику жидкости в начале координат. Случай медленных движений, когда 1 7 <1, 1С <1, г/ 2-Ь С/8 4-[//2, соответствует окрестности стационарной точки (2, 0). В случае, когда ограничивающие стенки отсутствуют, физический смысл имеют только периодические решения, отвечающие замкнутым траекториям на рис. 14. Они расположены между стационарной точкой (2, 0) и сепаратрисой [c.66]

Интегральные двумерные тороидальные многообразия естественно возникают при бифуркации периодического движения с переходом через поверхность Как следует из предыдущего параграфа (теорема 5.5), при определенных условиях переход через бифуркационную поверхность сопровождается отделением от периодического движения тороидального двумерного многообразия. Тороидальное двумерное интегральное многообразие на своей поверхности может нести самые разнообразные фазовые портреты, которые могут претерпевать бифуркации, не сопровождающиеся разрушением несущего тора. Помимо этого, возможны бифуркации, при которых тор как гладкая интегральная поверхность исчезает. Пути разрушения тора достаточно многообразны. Среди них особый интерес представляют случаи, когда тор разрушается как целое. Бифуркации тора как целого аналогичны бифуркациям периодического движения типов Л +1, N-1 и Л ф. Однако их исследование по образцу исследования бифуркаций периодических движений наталкивается на новую трудность, поскольку приведение к нормальной форме уравнений в окрестности тора предполагает приводимость линеаризованных уравнении в окрестности тора к лилейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Возможен другой подход к рассмотрению бифуркай,ий тора как целого. В основе его лежит сведение задачи о бифуркациях двумерного тора к задаче о бифуркациях инвариантной замкнутой кривой точечного отображения. Для этого разрежем тор секущей поверхностью так, чтобы в сечении получилась замкнутая кривая Г. Фазовые траектории [c.119]

Из предыдущего ясно, что в окрестности неподвижных точек Ои Ог,. .., Ор и их инвариантных кривых в случае точечного отображения могут существовать сложные седловые инвариантные множества. В случае дифференциальных уравнепий аналогом такого множества могут быть только совпадающие попарно кривые 5+ и 8 . При разрушении этого слияния могут возникнуть либо внутри петель, либо вне их устойчивые периодические движения. Такой же фазовый портрет для точечного отображения на секущей поверхности отвечал бы появлению тороидальных интегральных многообразий у исходной системы, в которой взята эта секущая. Вносит ли что-нибудь новое в эту картину возможность возникновения сложного седлового инвариантного множества Оказывается, вносит. Чтобы придать конкретный смысд этому различию, будем рассматривать переменные на секущей плоскости как разность фаз с неким внешним периодическим воздействием и результирующую амплитуду колебаний, возникающих в результате зтого внешнего воздействия. При этом переход к дифференциальному уравнению можно трактовать, например, как результат использования метода усреднения. Если речь идет о фазовом портрете дифференциального уравнения, то возможные общие случаи — это либо синхронизм фаз и постоянство амплитуды (устойчивые состояпия равновесия), либо периодическое изменение разности фаз и величины амплитуды. [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...