Отрезок без контакта

Проведем на фазовой плоскости через неособые точки отрезок без контакта АВ, т. е. такой отрезок прямой или дуги некоторой гладкой кривой, в каждой точке которого фазовые траектории системы (4.2) пересекают его, нигде не касаясь. Рассмотрим фазовую траекторию Г, проходящую через некоторую точку М отрезка АВ, где М отлична от точек А или В. Пусть в момент времени / = О изображающая точка, движущаяся на траектории Г согласно уравнениям (4.2), совпадает с точкой М. Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль фазовой кривой Г она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта АВ, то говорят, что точка М имеет последующие. Тогда на основании теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий все точки на отрезке АВ, достаточно близкие к точке М, также имеют последующие. Пусть S и S — координаты точки /И и ее последующей (рис. 4.1). Согласно сказанному выше, будет существовать функциональная зависимость [c.71]

Отрезок без контакта. Отрезком без контакта будем называть конечный замкнутый отрезок прямой, обладающий тем свойством, что ни в одной его точке нормальная к нему составляюш ая поля F не обраш,ается в нуль. Иными словами, отрезок без контакта не касается ни одной траектории и не проходит ни через одну особую точку. Отрезок без контакта, проходящий через точку ро, представляет отрезок, для которого эта точка является внутренней. Ясно, что через всякую обыкновенную точку можно провести бесконечное число отрезков без контакта. Установим основные свойства таких отрезков. [c.389]

Значения имеют предельную точку to, а to и р (tg) в S. Можно выбрать точку tn как угодно близко к точке to, так чтобы хорда р ( о) р (tn) стремилась принять направление касательной к траектории С в точке р (to). Тогда в точке р (to) кривая С касалась бы отрезка S, но это невозможно в силу определения отрезка без контакта. Таким образом, предположение о том, что траектория за конечный промежуток времени пересекает отрезок без контакта бесконечное число раз, приводит к противоречию. [c.389]

Докажем сначала, что С есть циклическая траектория. Пусть р — обыкновенная точка, ская ем, положительного предельного множества Л кривой С. Множество Л составляет часть Л (поскольку С принадлежит Л и это множество замкнуто), так что р А. Пусть S будет отрезок без контакта, проходящий через точку р. Тогда S пересекает Л в единственной точке р. Таким образом, S пересекает С в одной-единственной точке р, и, следовательно, траектория С является циклической. [c.391]

Если траектория С циклическая, то С = Л. Пусть С — не циклическая траектория. Рассмотрим отрезок без контакта 5, проходящий через точку р множества Л. Последовательность точек пересечения Pi, р2, Рз кривой С с отрезком S сходится к точке р ( 20.4), так что С представляет спираль, приближающуюся к множеству Л при оо. В этом случае циклическая траектория Л называется предельным циклом. [c.392]

Пусть q — точка кривой А., S — отрезок без контакта, проходящий через точку q, а р +1 — две последовательные точки пересечения кривой С с отрезком S, соответствующие заданному (достаточно большому) значению п. Рассмотрим кольцевую область. [c.392]

Пусть при выбранном на движении точка 5" соответствует значению i = т. Покажем, что на Ь нет точек, соответствующих значениям I х и лежащих вне С. В самом деле, предположим сначала, что траектория Ь выходит нри значении С т из окружности С, не пересекая до этого отрезок без контакта I. Тогда и все траектории Ь , проходящие через точки [c.270]

II. В силу непрерывности правых частей системы (6.1) изображающая точка, двигаясь по любой из траекторий, пересекающих отрезок без контакта, при возрастании t всегда переходит с одной и той же стороны прямой О на другую ее сторону, т. е. все траектории пересекают отрезок без контакта в одном и том же направлении. [c.402]

Отсюда, в частности, следует, что если какая-нибудь фазовая траектория пересекает отрезок без контакта дважды, то она может [c.402]

III. Сколь бы малое Д О мы ни взяли, всегда существует столь малая окрестность точки Ма, что всякая траектория, проходящая при t — to через точку этой окрестности, пересекает отрезок без контакта при некотором значении t = to, отличающемся от значения 0 меньше чем на Д, — о1< Д. [c.403]

VII. Рассмотрим незамкнутую положительную полутраекторию L, для которой траектория L (не являющаяся состоянием равновесия) есть предельная. Если через какую-нибудь точку траектории L проведен отрезок без контакта, то на этом отрезке будет лежать бесконечная последовательность точек полутраектории V (расположенных в порядке возрастания времени t), стремящихся к точке М . Это предложение является следствием первой основной теоремы и предложений III и V. [c.405]

Возьмем какую-нибудь точку Р на траектории L и проведем через эту точку отрезок без контакта /. Так как точка Р является [c.405]

Проведем в точке Р отрезок без контакта /, целиком лежащий внутри рассматриваемой е-окрестности (е можно взять сколь угодно малым). В силу предложения VII на отрезке без контакта находится последовательность точек полутраектории L Ру, Р , Р ,..., Р ,..., стремящихся к точке Р (так как точка Р—предельная для полутраектории L ). При этом точки Pi, Р<1,... расположены на отрезке I в порядке возрастания значений t [c.407]

Пусть Р-—какая-нибудь отличная от состояния равновесия точка множества Л и/—отрезок без контакта, проведенный через эту точку. Как мы знаем (см. предложение VII), на отрезке / лежит последовательность точек полутраектории Ру, Р , соответствующих неограниченно возрастающим значениям Ь и стремящихся к точке Р. Будем обозначать через С замкнутую кривую, состоящую из дуги Р -Р,Ч1 полутраектории и части Р Р +1 отрезка I (такие замкнутые кривые рассматривались в предложении V). [c.416]

О не содержала ни одного состояния равновесия кроме О, ни одной замкнутой траектории, а также не содержала бы точку М полутраектории 1%. Возьмем на 1м точку <5, соответствующую t = z, такую, чтобы сама точка <5 и все точки 1%, соответствующие значениям лежали бы в е -окрестности состояния равновесия О. Проведем через точку <5 отрезок без контакта / (целиком лежащий в б ,-окре-стности О см. рис. 297). [c.419]

Рассмотрим отрезок без контакта I, проведенный через какую-нибудь точку траектории о, содержащий точку внутри. Пусть [c.441]

Предположим сначала, что при X = Х отрезок без контакта I в точке, соответствующей 5 = Яо, пересекает грубый предельный цикл, т. е. предельный цикл, у которого (см. 4 настоящей главы, [c.469]

В 4 было показано, что в случае, когда цикл й-кратный, он заведомо может быть разделен при надлежащих изменениях правой части системы не менее чем на два предельных цикла. Если при заданном X уравнение Г ( , X) = О обращается в тождество, то это будет означать, что все траектории, пересекающие отрезок без контакта, замкнуты. Этот исключительный случай мы сейчас не рассматриваем. [c.470]

Пусть имеется отрезок без контакта АВ и неподвижная точка 5, соответствующая предельному циклу Ь (рис. 6.4). Рассмотрим фазовую траекторию и точки ее пересечения 5 с отрезком АВ в некоторой Е-окрест-ности предельного цикла Ь. Составим последовательность [c.149]

Геометрически непосредственно ясно (рис. 4.1), что для существования функции последования необходимо, чтобы траектории на фазовой плоскости обладали свойством возвращаемости, причем возвращение изображающей точки на отрезок без контакта должно происходить за конечный промежуток времени. [c.72]

Если положительная полухарактеристика С пересекает отрезок без контакта S больше одного раза, то она пересекает его всегда в одном и том же направлении. В самом деле, если бы С пересекала S в точках Pi и Рг с разных сторон, то нормальная составляющая вектора F имела бы в этих точках противоположные знаки, и так как она изменяется вдоль S непрерывным образом, то нашлась бы точка между Pi и Pi, в которой нормальная составляющая F обращалась бы в нуль. Однако последнее невозможно, поскольку S является отрезком без контакта. [c.389]

Докажем теперь, что С = А. Предположим противное пусть Е — множество точек, принадлежащих Л и не лежащих на С. Множества Л и С замкнуты, а множество Е открыто поэтому существует предельная точка q множества Е, которая не лежит в Е. Но точка q лежит в Л, так как это множество замкнуто, следовательно, q С. Рассмотрим теперь отрезок без контакта S, проходящий через точку q (которая является обыкновенной точкой и лежит на С). Пусть р — точка множества Е, лежащая достаточно близко от точки q. Тогда р будет обыкновенной точкой и проходящая через нее характеристика будет пересекать отрезок S в точке q, которая будет отлична от q, так как характеристики не пересекаются. Но q Л, так как р 6 А, и, следовательно, вся характеристика, проходящая через точку р, принадлежит множеству Л. Таким образом, отрезок S содержит две различные точки q ж q, принадленсащие множеству Л, а это, как мы видели, невозможно. Следовательно, множество Е должно быть пустым и С = А. Множество Л сводится к циклической траектории. [c.391]

Для доказательства рассмотрим точку q на кривой Г и отрезок без контакта S, проходящий через эту точку. Пусть Ро — точка на отрезке S, лежащая внутри области, ограниченной Г, вблизи от q. Рассмотрим положительную полухарактеристику, начинающуюся в точке Ро. Изображающая точка либо возвращается в первоначальное положение ро, и тогда теорема доказана, либо попадает на отрезок S в некоторую точку pi. Если эта точка лежит между ро и q, то следующая точка пересечения рг окажется между p ж q, ж т. д. Последовательность р будет сходиться к предельной точке, расположенной на отрезке ро . Этой предельной точкой не может быть точка q, ибо тогда проходящая через точку ро положительная полухарактеристика стремилась бы к траектории Г, что по условию не имеет места. Поэтому точки р стремятся к пределу I, заключенному между ро и д, а траектория стремится к предельному циклу Л, проходящему через точку I. (Если точка pi не лежит между ро и q, то следует воспользоваться отрицательной полухарактеристикой, проходящей череа точку Ро.) [c.393]

Доказательство. Пусть I — аналитическая дуга без кои-такта (например, отрезок без контакта), проведенная через какую-либо точку траектории 8 — параметр на этой дуге и 5 = ш ( ) — функция последования на дуге/, определенная при значениях 8, Значе- [c.223]

Или мы дойдем до точки Q отрезка I, соответствующей 5 = 5, для которой последующей будет конец В (или А) отрезка I (рис. 243). Тогда точки Ь, соответствующие значениям 5 5 (или 5< 5 ), не будут уже, в силу свойства II, иметь последующих на отрезке Ь и функция последования не будет определена для значений 5 5 (или 5< 5 ). в этом случае мы, вообще говоря, можем удлинить отрезок без контакта и, следовательно, увеличить интервал значений 5, для которых определена функция последования ). [c.330]

VIII. Пусть x = J t),y=y t) — движение по траектории не являющейся состоянием равновесия, причем точка Л 1,, этой траектории соответствует значению t = to, а точка Mi— значению t = ti. Пусть I — отрезок без контакта в точке М . Тогда, сколь бы малы ни были е и Д (е О, Д 0), всегда можно указать такое 8 = = 8(s, Д), что изображающая точка, помещенная в момент t = t ) на расстоянии, меньшем 8, от точки М , при некотором значении t = t[, удовлетворяющем неравенству ti — г [ < Д, необходимо пересечет отрезок без контакта I, оставаясь в течение промежутка времени omt = to до t = t[ на расстоянии, меньшем г, от точек траектории L, соответствующих значениям t между и [c.405]

Действительно, пусть О — одна из точек пересечения полутраектории Ь с отрезком РхР - Изображающая точка, помещенная в момент t = z ъ точку Q, при значениях либо войдет в область, лежащую внутри замкнутой кривой Р1ЖР2Р1, образованной дугой РхМРч полутраектории и отрезком без контакта Р Р , либо выйдет из этой области. Пусть, например, изображающая точка при входит в указанную область, тогда она уже не сможет выйти из нее, так как она не может выйти ни через дугу Р МР (траектории не пересекаются), ни через отрезок РхР. (все траектории пересекают отрезок без контакта в одном и том же направлении). Следовательно, изображающая точка уже не сможет пересечь отрезок Я,Ра при [c.406]

Предположим, что при значении X = Х(, мы имеем отрезок без контакта / и функцию последования на нем. Опираясь на теорему VI Дополнения 1, о которой мы говорили в начале этого параграфа, можно высказать следующее утверждение всегда можно указать такое 0, чтобы для всех значений X внутри интервала Х — ] <С <С 0 + "П отрезок без контакта оставался отрезком без контакта и на нем существовала бы функция последования 5=/(х, X) для значений з где 8 и можно взять [c.468]

Предположим, что значение Х = Х является бифуркационным и что при этом значении Х у системы (6.22) существует двойной предельный цикл (см. 4, п. 3), пересекающий отрезок без контакта I в точке, соответствующей значению = где 51< 5д< 52. Тогда кривая, изображающая функцию последования [c.469]

Геометрически очевидно, что функция последования существует тогда, когда отрезок без контакта пересекает траектории, имеющие характер спиралей (см. рис. 6.1), или замкнутые траектории (рис. 6.2, 6.3). Очевидно также, что если некоторому значению 5 соответствует замкнутая траектория, то 5 = / з) = 5, т.е. точка и ее последующая совпадают (см. рис. 6.2). [c.149]

Если отрезок без контакта пересекает континуум замкнутых траекторий (см. рис. 6.3), то имеется целый отрезок неподвижных точек, а функция последования имеет вид Если же имеется предельный цикл, т.е. изолированная замкнутая траектория, то и соответствующая ему неподвижная точка будет изолированной, т.е. в достаточно малой ее окрестности (на отрезке без контакта) нет других неподвижных точек. Если 5= 5,,.... .., 5=8 - корни уравнения (6.3), то имеется Ш предельных циклов, проходящих через точки Л р. .., отрезка без контакта. [c.149]

Если ро — точка, лежащая вблизи отрезка без контакта S, то проходящая через эту точку траектория пересекает отрезок S. Прежде всего уточним формулировку теоремы. Пусть q — внутренняя точка S, а — заданное положительное число. Тогда существует положительное число б = б (е) такое, что если d (q, ро) < б, то начинающаяся в точке ро положительная или отрицательная полухарактеристика пересечет отрезок S через промежуток времени, не превышающий длительности интервала ( —е, в) если р (t) есть траектория, для которой р (0) = ро, то существует число 0 такое, что —е С 0 С е и р (9) g [c.389]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...