Коммутант представления

Назовем это множество коммутантом представления я(Ш). Определим бикоммутант я(3 )" представления я(3 ) как коммутант коммутанта я(3 ). Аналогично, пользуясь рекуррентным соотношением, определим я(3 ) = Заметим, что алгебры обладают следующими свойствами [c.111]

Коммутант представления 111 Коммутантов соотношение 249 Компактное множество 78 [c.417]

Доказательство. Докажем сначала обратную часть леммы. Отображение "ф 9 ->С, определяемое соотношением 1, линейно. Положим Я Я) = (ВФ 1), п Я Я) ВФ 1)). Учитывая, что л есть представление, получим соотношение (-ф, Я Я) = = I я(/ )ВФ(/) Р О, из которого следует, что функционал "ф положителен. Из условия 4 находим ( ф /) = 1 следовательно, -ф — состояние на 91. Нам осталось еще доказать, что над состоянием "ф доминирует состояние ф. Воспользуемся уже установленным соотношением Я Я) = п Я)ВФ 1) . Поскольку элемент В принадлежит коммутанту я(Э ) и ограничен сверху некоторым числом X, которое мы, не ограничивая общности, будем считать больше 1, получим [c.115]

Неравенство означает, что над состоянием -ф доминирует состояние ф. Заметим, что до сих пор мы еще не использовали ни условие 2, ни цикличность представления я. И то и другое понадобится нам теперь для доказательства однозначности элемента В. Предположим, что в коммутанте я (9 ) существует другой элемент, например С, порождающий в силу условия 1 [c.115]

Доказательство. Предположим сначала, что представление Пф примарно и принадлежит типу I, т. е. что его бикоммутант Яф (9г)" и, следовательно, коммутант Лф(9г) дискретны. Тогда в ЗХф (9 ) существует по крайней мере один минимальный оператор проектирования Р. Образуем подпредставление Пщ Ш)Р. [c.179]

Поскольку РфО, мы уже знаем, что РФ Ф О, где Ф — циклический вектор, соответствующий ф, а РФ — циклический вектор рассматриваемого подпредставления. Если бы это подпредставление не было неприводимым, то в коммутанте нашелся бы оператор проектирования Q, такой, что О ф Q с Р, а это противоречило бы минимальности оператора проектирования Р. Следовательно, (Я) Р — неприводимое представление и состояние ф из 23(р, определяемое соотношением (ф Р) = = (Ф, РЛф (Р) Ф)/ РФ р, чисто. Предположим теперь, что в существует вектор такой, что состояние (ф Р) = (Ч Лф (Р) Ч ) чисто на 9 . Пусть Рхр — оператор проектирования на 3X (9 ) Ч . Мы уже видели, что Рхр принадлежит коммутанту зх , (9J). Если бы в Лф(9 ) нашелся оператор проектирования Q, такой, что О ф Q Рцг, то представление (9i) Р г не было бы неприводимым вопреки предположению о том, что ф — чистое состояние. Итак, теорема доказана. [c.180]

Мы уже упоминали о том, что на некоторые физические результаты не влияет возможная неединственность среднего т]. Приведем еще один пример Пусть ф есть О-инвариантное состояние, Ф — соответствующий ему циклический вектор, а 5 — любой элемент коммутанта Пф(Я), такой, что 5Ф1= 1. Образуем состояние (ф / ) = (Ф, 5 л(/ )5Ф). По только что доказанной лемме состояние ттф как состояние на Я не зависит от среднего т], использованного при его вычислении. Этот результат представляет особый интерес в том случае, когда вектор Ф циклический не только по отношению к представлению Яф(Я), но и по отношению к коммутанту зХф(Я) из п. 5. Если последнее условие выполнено, то из леммы следует, что я (Я) также не зависит от среднего т], в силу чего (теорема 7) п-абелевость на ф в данном случае не зависит от среднего, использованного при ее формулировке. [c.235]

Получающееся при этом антилинейное -представление Гф (91) совпадает с коммутантом (Я) [что в явном виде показывает существование взаимно однозначного соответствия между Яф (5Й) и Яф(Я) ]. Представление Уф(Я) можно получить и другим способом. Определим для каждого элемента ограниченный оператор Уф (/ ) соотношением [c.247]

Обозначим через Яф(й) и Уф(8) сужения представлений Яф (91) и Уф (91) на алгебру Гильберта 2 (Ж), рассматриваемую как подалгебра алгебры Я. Согласно теореме о коммутанте алгебр Гильберта [76, 77, гл. 5, 2, п. 1, теорема I], Яф(8) = Ур (8)". Поскольку 2 Е Я, мы имеем [c.249]

Комбинируя эти два соотношения, получаем равенство Яф(91) = = Уф(9 )", что доказывает существование взаимно однозначного соответствия между элементами коммутанта Яф(81) и бикоммутанта Яф(91)". Таким образом, вектор Ко является циклическим и для Яф(Я). Итак, мы полностью распространили на рассматриваемый нами более общий случай сделанные ранее замечания относительно структуры представления Яф, ассоциированного с равновесным состоянием ф. Попутно заметим, что в проведенных выше рассуждениях нам не обязательно пользоваться равенством Ш = а было бы достаточно включения 91 э 2 (Ж). Существование операции сопряжения С, отображающей бикоммутант Яф(Я)" на коммутант Яф(Я) так, как было описано выше, мы будем для краткости называть соотношением коммутантов для Яф(Я). [c.249]

Во-первых, на протяжении данного пункта мы исходили из предположения о том, что эволюцию во времени бесконечной системы можно рассматривать ак непрерывную группу автоморфизмов алгебры Я. Подобное допущение отнюдь не тривиально, поскольку эволюция во времени бесконечной системы определяется предельным переходом от конечной системы, для которой можно определить гамильтониан, и, таким образом, допускает прямую физическую интерпретацию. Если сказать несколько иначе, то проблема сводится к тому, чтобы вычислить термодинамический предел способом, не приводящим к противоречию с динамикой. Такой непротиворечивости удается легко достичь для довольно широкого класса нетривиальных квантовых решеточных систем (гл. 4, 2, п. I), где, как было показано, эволюция во времени оказывается именно тем автоморфизмом С -алгебры Я, который нам хотелось бы связать с бесконечными системами. Но вообще говоря это не так. Например, недавно было доказано [70, 446], что эволюцию во времени бесконечного свободного бозе-газа нельзя рассматривать как автоморфизм С -алгебры Я, но можно рассматривать как автоморфизм алгебры фон Неймана, порожденной представлением, которое ассоциировано с состоянием Гиббса (при температуре выше критической). Так же обстоит дело в модели БКШ [70] ) и в классе обобщенных моделей Вейсса для ферро- и антиферромагнетизма [104]. В последнем случае эволюция во времени, определенная для каждой фазы в отдельности, согласуется с эволюцией во времени, определенной для состояния Гиббса, образованного фазами. Во всех этих случаях удалось сформулировать соответствующие обобщения условия КМШ и добиться обобщения большей части результатов, изложенных в данном пункте, в частности теоремы 9 о коммутанте. [c.274]

Как показал Штёрмер, это условие эквивалентно любому из двух следующих условий а) ф — экстремальное G-инвариантное состояние и б) ф= Фу. где ф ==ф(,. Кроме того, Штёрмер в столь общем случае дал общую классификацию типов примарных представлений, ассоциированных с такими состояниями, когда фо есть фактор-состояние на 9 o. Представление Яф принадлежит к типу / , когда состояние фо есть гомоморфизм, к типу / , когда оно чистое состояние и не гомоморфизм, и к типу П , когда это след и не гомоморфизм. Представление Лф принадлежит к типу П , если состояние фо не является ни чистым состоянием, ни следом и, кроме того, вектор состояния на Лф(Э о), порожденный вектором Фо е Яф , есть след. Наконец, представление Лф принадлежит к типу III, если только что определенное состояние на Яф (Э о) не является следом. И лея такую классификацию, мы можем, исходя из нашей алгебры квазилокальных наблюдаемых квантовой решеточной системы, построить факторы типа 1 , II, и III. Действительно, пусть фо состояние на 3 2. рассмотренное в первых примерах в гл. 2, 1, п. 2, 5. Если = oo, то фо — чистое состояние и не гомоморфизм. Следовательно, ф —примарное состояние типа 1 (физически ф есть основное состояние нашей свобод ной системы, взаимодействующей только с магнитным полем) Если = 0, то фо = след, но не гомоморфизм. Следовательно ф—примарное состояние типа II, (с физической точки зрения ф — состояние при бесконечной температуре). Если О < < оо то, как нетрудно сообразить [поскольку мы в явном виде по строили коммутант Лф (Э о) ], фо принадлежит последнему классу состояний, в силу чего ф —примарное состояние типа III Кстати, данное обстоятельство служит иллюстрацией того что теорема 14 из гл. 2, 2 применима именно в той области которую мы указали. Нетрудно видеть [303], что полученные [c.387]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...