Коммутант

Множество П наборов а = (ai,..., а ), удовлетворяющих усло- (ию 2), является линейным подпространством К", размерность которого не меньше dim А — dim A,A , где А, А — коммутант алгебры А (линейное подпространство, порожденное элементами вида /, , где f,ff Е А). Так как А разрешима, то dimll 1. [c.83]

Пусть М М — симплектический диффеоморфизм. Мы скажем, что диффеоморфизм гомологичен тождественному, если его можно соединить с тождественным диффеоморфизмом (оставляющим на месте все точки многообразия М) гладкой кривой gt, состоящей из симплектических диффеоморфизмов, так, Ч Ю поле скоростей в каждый момент времени I имеет однозначную функцию Гамильтона. Можно доказать, что симплектические диффеоморфизмы, гомологичные тождественному, образуют коммутант связной компоненты единицы в группе всех симплектических диффеоморфизмов многообразия. [c.387]

Если определить коммутант группы равенством [c.717]

Из теории алгебр ограниченных операторов хорошо известно, что циклический вектор -алгебры 5 — это отделяющий вектор ее коммутанта. Это означает следующее если множество векторов плотно, то из равенства [c.194]

Когерентное подпространство 18 Коммутант 17 [c.250]

Назовем это множество коммутантом представления я(Ш). Определим бикоммутант я(3 )" представления я(3 ) как коммутант коммутанта я(3 ). Аналогично, пользуясь рекуррентным соотношением, определим я(3 ) = Заметим, что алгебры обладают следующими свойствами [c.111]

Доказательство. Докажем сначала обратную часть леммы. Отображение "ф 9 ->С, определяемое соотношением 1, линейно. Положим Я Я) = (ВФ 1), п Я Я) ВФ 1)). Учитывая, что л есть представление, получим соотношение (-ф, Я Я) = = I я(/ )ВФ(/) Р О, из которого следует, что функционал "ф положителен. Из условия 4 находим ( ф /) = 1 следовательно, -ф — состояние на 91. Нам осталось еще доказать, что над состоянием "ф доминирует состояние ф. Воспользуемся уже установленным соотношением Я Я) = п Я)ВФ 1) . Поскольку элемент В принадлежит коммутанту я(Э ) и ограничен сверху некоторым числом X, которое мы, не ограничивая общности, будем считать больше 1, получим [c.115]

Неравенство означает, что над состоянием -ф доминирует состояние ф. Заметим, что до сих пор мы еще не использовали ни условие 2, ни цикличность представления я. И то и другое понадобится нам теперь для доказательства однозначности элемента В. Предположим, что в коммутанте я (9 ) существует другой элемент, например С, порождающий в силу условия 1 [c.115]

Из этого равенства и плотности 8 в мы заключаем, что оператор У коммутирует с операторами п Я) при всех т. е. оператор У принадлежит коммутанту Таким обра- [c.117]

Линия, идущая вверх от ЗИ к ЗИ, означает, что ЗИ Е Множество ЗИ", содержит и как коммутант множества Ш слабо замкнуто. Следовательно, ЗИ"э ЗИ. В то же время из леммы следует, что ЗИэЗИ . Комбинируя все эти включения, получаем ЗИ" = 33г = = ЗИ = Тем самым теорема 10 доказана. [c.152]

Алгебра фон Неймана 9 называется алгеброй фон Неймана типа I (или дискретной), если она изоморфна алгебре фон Неймана ак с абелевым коммутантом. Поскольку коммутант Зй абелев, он конечен и, стало быть, полуконечен. Такими же свойствами обладает и коммутант коммутанта Ш" = Зй. Следовательно, алгебра фон Неймана типа I полуконечна. Алгебра фон Неймана называется непрерывной, если в ее центре не существует оператора проектирования Р, такого, что Р фО н алгебра фон Неймана З р дискретна. [c.169]

В приложениях часто используются следующие результаты. Пусть 9i — алгебра фон Неймана. Если Е — оператор проектирования, принадлежащий коммутанту 9i, то 91 мы определим так же, как выше. Если Е — оператор проектирования из 9i, то элементы алгебры фон Неймана 31 мы определим как операторы, получающиеся при сужении элемента В на ЕЖ, где В пробегает множество всех элементов алгебры таких, что [c.171]

BE = ЕВ — В.Ъ обоих случаях алгебра 31 наследует от алгебры 31 следующие свойства а) полуконечна б) чисто бесконечна (т. е. алгебра фон Неймана типа III) в) дискретна (т. е. алгебра фон Неймана типа I) г) 31 непрерывна д) 31 — алгебра фон Неймана типа II е) 3 g конечна и ж) 31 — алгебра фон Неймана типа П]. Доказательство см. в работе Диксмье [77] (доказательства утверждений а и е — гл. 1, 6, п. 8, предложение 11 утверждения б гл. 1, 6, п. 8, следствие 4 утверждений в и г — гл. 1, 8, п. 3, предложение 4). Утверждение д следует из утверждений а и г . Утверждение ж следует из утверждений д и е . Теми же свойствами (кроме двух последних свойств, не имеющих места в общем случае) обладает и коммутант 31. Доказательство см. в работе Диксмье [77] (в частности, утверждение а доказано в гл. 1, 6, п. 8, следствие 1 утверждение 6 — в гл. I, 6, п. 8, следствие 3 утверждение в — в гл. 1, 8, Н,. 2, теорема 1 утверждение г — в гл. 1, 8, п. 2, следствие 1). Утверждение д следует из утверждений а и г . Заметим, однако, что утверждение е и, следовательно, утверждение ж остаются в силе для коммутанта 31, если существует конечный набор Wi,..., W элементов из Ж, циклических относительно 31 [77, гл. 2, 2, упражнение 2]. [c.172]

И, в частности (при = V =иР = 1 — Р)и. Подставляя оператор V в только что выписанное соотношение, получаем (Р) = Яф (/ ) 1/ для всех е Я, т. е. V (Ш). Но У У = Р и УУ = (I — Р), в силу чего V — частичная изометрия в п (Я). Кроме того, К = УУУ = (1-Р)У = 1 — Р) УУ У = I — Р) у р. Воспользуемся теперь тем, что по предположению оператор проектирования Р также принадлежит бикоммутанту Лф(Я)" и, следовательно, коммутирует с У. Из последнего соотношения с учетом этого обстоятельства следует, что V = О и, стало быть, Р = 0. Но это противоречит предположению о том, что РфО, и, таким образом, нам остается рассмотреть лишь соотношение Рассуждая так же, как и выше, мы получили бы равенство Р — 1, что противоречит предположению Р ф I. Следовательно, пересечение коммутанта с бикоммутантом Лф (Э ) Л(р (Э )" содержит лишь два оператора проектирования О и /. Поскольку алгебра фон Неймана порождается своими операторами проектирования, отсюда следует, что [c.179]

Доказательство. Предположим сначала, что представление Пф примарно и принадлежит типу I, т. е. что его бикоммутант Яф (9г)" и, следовательно, коммутант Лф(9г) дискретны. Тогда в ЗХф (9 ) существует по крайней мере один минимальный оператор проектирования Р. Образуем подпредставление Пщ Ш)Р. [c.179]

Поскольку РфО, мы уже знаем, что РФ Ф О, где Ф — циклический вектор, соответствующий ф, а РФ — циклический вектор рассматриваемого подпредставления. Если бы это подпредставление не было неприводимым, то в коммутанте нашелся бы оператор проектирования Q, такой, что О ф Q с Р, а это противоречило бы минимальности оператора проектирования Р. Следовательно, (Я) Р — неприводимое представление и состояние ф из 23(р, определяемое соотношением (ф Р) = = (Ф, РЛф (Р) Ф)/ РФ р, чисто. Предположим теперь, что в существует вектор такой, что состояние (ф Р) = (Ч Лф (Р) Ч ) чисто на 9 . Пусть Рхр — оператор проектирования на 3X (9 ) Ч . Мы уже видели, что Рхр принадлежит коммутанту зх , (9J). Если бы в Лф(9 ) нашелся оператор проектирования Q, такой, что О ф Q Рцг, то представление (9i) Р г не было бы неприводимым вопреки предположению о том, что ф — чистое состояние. Итак, теорема доказана. [c.180]

Результат 5. Пусть 3 г(/=1, 2) —две алгебры фон Нейшна с абелевыми коммутантами. Тогда всякий С -изоморфизм алгебр Шх и % унитарен. [c.205]

Результат 6. Пусть 3ti i=l, 2) — две алгебры фон Нейшна с однородными коммутантами. Предположим, что алгебры и 3 2 имеют одинаковые степени. Тогда всякий С -автоморфизм алгебры 3ti на алгебру 3 2 унитарен. [c.205]

Результат 7. Пусть 31 — алгебра фон Неймана с собственно бесконечным коммутантом. Всякий С -автоморфизм а алгебры % такой, что a[Z] ==Z для всех элементов Z из центра 3 алгебры 31, унитарен. [c.205]

Примечание. Из результата 7 вытекает ряд интересных следствий, на которых мы сейчас кратко остановимся. Прежде всего напомним, что если Ш — алгебра фон Неймана типа III, то и ее коммутант (стр. 171) также является алгеброй фон Неймана типа III. Отсюда мы заключаем, что множество 9 " чисто и, следовательно, собственно бесконечно. Таким образом, из результата 7 следует, что всякий С -автоморфизм алгебры фон Неймана типа III унитарен, если он оставляет инвариантными все элементы центра алгебры 3- Последнее условие можно отбросить, если считать, что алгебра фон Неймана типа III действует в сепарабельном гильбертовом пространстве [77, гл. 3, 8, п. 6, следствие 7 79, приложение А, результат 51]. В любом случае условие относительно действия автоморфизма на центр алгебры становится излишним, если алгебра является фактором. Таким образом, всякий С -автоморфизм фактора типа III унитарен. В случае факторов типа ситуация не столь проста. Предположим, что Ш есть фактор типа П . Потребуем дополнительно, чтобы в Ж существовало конечное множество М, разделяющее для 3i. Тогда [77, гл. 1, 1, п. 4, предложение 5 и следствие] М —конечное циклическое множество для iR. Поскольку Ш есть фактор, его коммутант Ш также есть фактор, который либо конечен, либо собственно бесконечен. Но если бы коммутант Ш был бесконечен, то фактор 97 также был бы бесконечен, поскольку для 9 существует конечное циклическое множество (стр. 171), а это противоречило бы предположению. Итак, наше дополнительное условие достаточно для того, чтобы коммутант 91 был собственно бесконечным, и мы можем заключить, что всякий С -автоморфизм фактора типа П , допускающего конечное разделяющее множество, унитарен. Предположение о том, что 97 есть фактор, как видно из леммы иа стр. 168, не является существенным. Действительно, эта лемма утверждает, что в центре алгебры фон Неймана Шгл Ш существует оператор проектирования Е, такой, что коммутант We конечен, а коммутант 9i/ собственно бесконечен. Кроме того, мы видим, что множество ЕМ циклично в ЕЖ относительно W и, следовательно, относительно Ш е. Таким образом, алгебра фон Неймана Ше=Ше= 31 е) конечна. Поскольку элемент Е принад-лел<ит центру алгебры 9i, мы, пользуясь той же леммой, заключаем, что где (/ —f) — наибольший оператор проектирования из центра алгебры фон Неймана 97, такой, что алгебра фон Неймана 97(/ Р) собственно бесконечна. Но так как алгебра 9i собственно бесконечна по предположению, мы имеем F = I я, следовательно, = 0, т. е. коммутант 97 собственно бесконечен. Итак, мы видим, что требование в результате 7, а именно требование собственно-бесконечности коммутанта 91, можно заменить требованием собственно-бесконечности самой алгебры фон [c.206]

Результат 8. Пусть 97 (г = 1, 2) — две алгебры фон Неймана с собственно бесконечными равномерными коммутантами одного и того же порядка. Тогда любой С -автоморфизм алгебры 97 на алгебру % унитарен. [c.207]

Доказательство. Из леммы, приведенной на стр. 115, мы знаем, что из условия ф Лф следует существование и единственность элемента В, удовлетворяющего условиям 1, 2 и 4, и принадлежность элемента В коммутанту Яф(Я). Таким образом, прямого утверждения леммы достаточно для того, чтобы доказать принадлежность элемента В множеству О). Чтобы убедиться в этом, заметим, что из фе д следует [c.228]

Следствие. В обозначениях теоремы 6 для любого состояния Ф е Q 3 абелевости алгебры Е Ш Е следует, что коммутант ЭТф также абелев. В частности, коммутант 9 ф абелев, если рассматриваемая система G-абелева на ф из о)- [c.233]

Доказательство. Данное утверждение следует из того, что коммутант З ф алгебры фон Неймана ЭТф содержит абелев оператор проектирования Е в области значений которого содержится вектор Ф, циклический относительно ЭТф. Покажем это. Рассмотрим алгебру фон Неймана = Е Ш как алгебру фон Неймана, действующую в подпространстве Е Ж . Поскольку вектор Ф, ассоциированный с состоянием ф в конструкции ГНС, цикличен в 5 ф относительно зТф(Я), он тем более цикличен относительно ЭТф и З ВфФ =- ф ф- Следовательно, мы можем [c.233]

Если же Ф — циклический вектор относительно то последнее равенство означает, что Г = 0. Следовательно, отображение Т ->ЕщТЕ инъективно. Но, как мы уже знаем, это же отображение есть сюръективный гомоморфизм, а поэтому коммутант % изоморфен (Э ф)вф. Целью первой части доказательства и было показать, что (ЭТф)яф — абелева алгебра. Стало быть, коммутант ЭТф абелев. Вторая часть доказываемого положения тривиально следует из теоремы. [c.234]

Мы уже упоминали о том, что на некоторые физические результаты не влияет возможная неединственность среднего т]. Приведем еще один пример Пусть ф есть О-инвариантное состояние, Ф — соответствующий ему циклический вектор, а 5 — любой элемент коммутанта Пф(Я), такой, что 5Ф1= 1. Образуем состояние (ф / ) = (Ф, 5 л(/ )5Ф). По только что доказанной лемме состояние ттф как состояние на Я не зависит от среднего т], использованного при его вычислении. Этот результат представляет особый интерес в том случае, когда вектор Ф циклический не только по отношению к представлению Яф(Я), но и по отношению к коммутанту зХф(Я) из п. 5. Если последнее условие выполнено, то из леммы следует, что я (Я) также не зависит от среднего т], в силу чего (теорема 7) п-абелевость на ф в данном случае не зависит от среднего, использованного при ее формулировке. [c.235]

Доказательство. Мы уже знаем из леммы, что т]ф(Э1) содержится в Яф(Я)" Таким образом, наиболее существенное содержание условия теоремы сводится к дополнительному предположению о том, что т]ф(Щ) принадлежит коммутанту Яф(Я/. Для любых элементов / 1, / 2> и 5 из Ш справедливо соотношение [c.236]

По теореме 7 отображение т](р(Ш ) есть элемент коммутанта Яф(Я). Следовательно, пересечение Яф(Ш) (О) содержится в л ф(Я) и по непрерывности пересечение я /7 (О) содержится в Яф(9 ). Итак, утверждение 1 доказано. Пусть 5 — элемент, принадлежащий пересечению Яф (9 )" /7ф (С). Поскольку [c.237]

Получающееся при этом антилинейное -представление Гф (91) совпадает с коммутантом (Я) [что в явном виде показывает существование взаимно однозначного соответствия между Яф (5Й) и Яф(Я) ]. Представление Уф(Я) можно получить и другим способом. Определим для каждого элемента ограниченный оператор Уф (/ ) соотношением [c.247]

Обозначим через Яф(й) и Уф(8) сужения представлений Яф (91) и Уф (91) на алгебру Гильберта 2 (Ж), рассматриваемую как подалгебра алгебры Я. Согласно теореме о коммутанте алгебр Гильберта [76, 77, гл. 5, 2, п. 1, теорема I], Яф(8) = Ур (8)". Поскольку 2 Е Я, мы имеем [c.249]

Комбинируя эти два соотношения, получаем равенство Яф(91) = = Уф(9 )", что доказывает существование взаимно однозначного соответствия между элементами коммутанта Яф(81) и бикоммутанта Яф(91)". Таким образом, вектор Ко является циклическим и для Яф(Я). Итак, мы полностью распространили на рассматриваемый нами более общий случай сделанные ранее замечания относительно структуры представления Яф, ассоциированного с равновесным состоянием ф. Попутно заметим, что в проведенных выше рассуждениях нам не обязательно пользоваться равенством Ш = а было бы достаточно включения 91 э 2 (Ж). Существование операции сопряжения С, отображающей бикоммутант Яф(Я)" на коммутант Яф(Я) так, как было описано выше, мы будем для краткости называть соотношением коммутантов для Яф(Я). [c.249]

Теперь мы уже достаточно подготовлены для того, чтобы начать штурм общего случая. Прежде всего напомним, что в только что разобранном частном случае наиболее существенные с математической точки зрения моменты формулировки условия КМШ и вывода соотношения для коммутантов сводились к следующему а) мы рассматривали пространство пробных функций и это позволило нам, пользуясь преобразованием Фурье, обойти трудности, связанные с тем, что отображение а,р в общем случае не определено как отображение, действующее из 91 в 91, и б) в конце доказательства соотношения для коммутантов мы воспользовались фактом существования алгебры Гильберта 8(5 ), инвариантной относительно и достаточно большой в 91. Именно эти важнейшие моменты подробно изученного нами частного случая нам необходимо перенести на общий случай. Мы сделаем это, следуя Кастлеру, Пулу и Поулсену [224]. [c.252]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...