Коммутантов соотношение

Коммутант представления 111 Коммутантов соотношение 249 Компактное множество 78 [c.417]

Назовем это множество коммутантом представления я(Ш). Определим бикоммутант я(3 )" представления я(3 ) как коммутант коммутанта я(3 ). Аналогично, пользуясь рекуррентным соотношением, определим я(3 ) = Заметим, что алгебры обладают следующими свойствами [c.111]

Доказательство. Докажем сначала обратную часть леммы. Отображение "ф 9 ->С, определяемое соотношением 1, линейно. Положим Я Я) = (ВФ 1), п Я Я) ВФ 1)). Учитывая, что л есть представление, получим соотношение (-ф, Я Я) = = I я(/ )ВФ(/) Р О, из которого следует, что функционал "ф положителен. Из условия 4 находим ( ф /) = 1 следовательно, -ф — состояние на 91. Нам осталось еще доказать, что над состоянием "ф доминирует состояние ф. Воспользуемся уже установленным соотношением Я Я) = п Я)ВФ 1) . Поскольку элемент В принадлежит коммутанту я(Э ) и ограничен сверху некоторым числом X, которое мы, не ограничивая общности, будем считать больше 1, получим [c.115]

И, в частности (при = V =иР = 1 — Р)и. Подставляя оператор V в только что выписанное соотношение, получаем (Р) = Яф (/ ) 1/ для всех е Я, т. е. V (Ш). Но У У = Р и УУ = (I — Р), в силу чего V — частичная изометрия в п (Я). Кроме того, К = УУУ = (1-Р)У = 1 — Р) УУ У = I — Р) у р. Воспользуемся теперь тем, что по предположению оператор проектирования Р также принадлежит бикоммутанту Лф(Я)" и, следовательно, коммутирует с У. Из последнего соотношения с учетом этого обстоятельства следует, что V = О и, стало быть, Р = 0. Но это противоречит предположению о том, что РфО, и, таким образом, нам остается рассмотреть лишь соотношение Рассуждая так же, как и выше, мы получили бы равенство Р — 1, что противоречит предположению Р ф I. Следовательно, пересечение коммутанта с бикоммутантом Лф (Э ) Л(р (Э )" содержит лишь два оператора проектирования О и /. Поскольку алгебра фон Неймана порождается своими операторами проектирования, отсюда следует, что [c.179]

Поскольку РфО, мы уже знаем, что РФ Ф О, где Ф — циклический вектор, соответствующий ф, а РФ — циклический вектор рассматриваемого подпредставления. Если бы это подпредставление не было неприводимым, то в коммутанте нашелся бы оператор проектирования Q, такой, что О ф Q с Р, а это противоречило бы минимальности оператора проектирования Р. Следовательно, (Я) Р — неприводимое представление и состояние ф из 23(р, определяемое соотношением (ф Р) = = (Ф, РЛф (Р) Ф)/ РФ р, чисто. Предположим теперь, что в существует вектор такой, что состояние (ф Р) = (Ч Лф (Р) Ч ) чисто на 9 . Пусть Рхр — оператор проектирования на 3X (9 ) Ч . Мы уже видели, что Рхр принадлежит коммутанту зх , (9J). Если бы в Лф(9 ) нашелся оператор проектирования Q, такой, что О ф Q Рцг, то представление (9i) Р г не было бы неприводимым вопреки предположению о том, что ф — чистое состояние. Итак, теорема доказана. [c.180]

Доказательство. Мы уже знаем из леммы, что т]ф(Э1) содержится в Яф(Я)" Таким образом, наиболее существенное содержание условия теоремы сводится к дополнительному предположению о том, что т]ф(Щ) принадлежит коммутанту Яф(Я/. Для любых элементов / 1, / 2> и 5 из Ш справедливо соотношение [c.236]

Получающееся при этом антилинейное -представление Гф (91) совпадает с коммутантом (Я) [что в явном виде показывает существование взаимно однозначного соответствия между Яф (5Й) и Яф(Я) ]. Представление Уф(Я) можно получить и другим способом. Определим для каждого элемента ограниченный оператор Уф (/ ) соотношением [c.247]

Комбинируя эти два соотношения, получаем равенство Яф(91) = = Уф(9 )", что доказывает существование взаимно однозначного соответствия между элементами коммутанта Яф(81) и бикоммутанта Яф(91)". Таким образом, вектор Ко является циклическим и для Яф(Я). Итак, мы полностью распространили на рассматриваемый нами более общий случай сделанные ранее замечания относительно структуры представления Яф, ассоциированного с равновесным состоянием ф. Попутно заметим, что в проведенных выше рассуждениях нам не обязательно пользоваться равенством Ш = а было бы достаточно включения 91 э 2 (Ж). Существование операции сопряжения С, отображающей бикоммутант Яф(Я)" на коммутант Яф(Я) так, как было описано выше, мы будем для краткости называть соотношением коммутантов для Яф(Я). [c.249]

Теперь мы уже достаточно подготовлены для того, чтобы начать штурм общего случая. Прежде всего напомним, что в только что разобранном частном случае наиболее существенные с математической точки зрения моменты формулировки условия КМШ и вывода соотношения для коммутантов сводились к следующему а) мы рассматривали пространство пробных функций и это позволило нам, пользуясь преобразованием Фурье, обойти трудности, связанные с тем, что отображение а,р в общем случае не определено как отображение, действующее из 91 в 91, и б) в конце доказательства соотношения для коммутантов мы воспользовались фактом существования алгебры Гильберта 8(5 ), инвариантной относительно и достаточно большой в 91. Именно эти важнейшие моменты подробно изученного нами частного случая нам необходимо перенести на общий случай. Мы сделаем это, следуя Кастлеру, Пулу и Поулсену [224]. [c.252]

С небольшими изменениями, обусловленными тем, что в термодинамическом пределе эволюция во времени действует как автоморфизм не на а на Яф(91)", Дьюбин и Сьюэлл [90] доказали соотношение для коммутантов о четом этого обстоятельства. [c.252]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...