Абелевы группы, определение

Замечание. Полезно отметить, что дословно то же самое соображение применимо, если ip принимает значения в некоторой абелевой группе, в которой определен аналог абсолютной величины, инвариантный относительно сдвигов, например на торах с обычной функцией расстояния или на любой компактной абелевой группе. Позднее мы применим теорему Лившица в случае, когда уз — функция со значениями на торе. [c.612]

Поскольку отображение 9 С,ь ->Q , по определению является гомоморфизмом относительно аддитивной структуры, лемма Пуанкаре показывает, что множество = 9(С +,) С С f -мерных границ представляет собой подгруппу группы Zi = кег 9 = с 9С = 0 i-мерных циклов. Так как группа абелева, группа нормальна в С . [c.717]

Определение П7.4. Группа Hl (М, Z) = = Z,. 3 называется к -й группой гомологий М с целыми коэффициентами. Как и всякая конечно порожденная абелева группа, может быть представлена в виде ф F, где F — конечная абелева группа. Группа Z тогда называется свободной частью Я , и число j3i называется к -м числом Бетти. [c.717]

При выводе (7.12) мы использовали определение (7.2), закон умножения (7.10), (7.11), а также тот факт, что группа X является абелевой, т. е. циклической, группой, так что" все элементы системы факторов коммутируют [c.42]

Элемент группы Ли О (конечномерной) задается набором непрерывных параметров с индексом а, пробегающим значения от 1 до Л/" — размерности группы. При этом групповой закон композиции есть не что иное, как правило сложения (вообще говоря, некоммутативное) групповых параметров, по которому паре наборов непрерывных параметров аа и Ра ставится в соответствие третий, 7=(а + р), причем (а + Р). вообще говоря, не равно (р + ) Если (а Р) = (р + а) для всех аир, группа называется абелевой или коммутативной. В тех случаях, когда основное групповое соотношение, абстрактно записываемое в форме g xg = й а+р, разрешимо в явном виде, говорят о реализации, т. е. о представлении элемента ga группы С на том или ином пространстве линейными операторами. (В случае матричной реализации величина - -(а) является матрицей определенного вида и размерности, фиксированным образом зависящая от набора параметров аа- В результате матричного перемножения элементов -(а) и (Р) возникает снова матрица того [c.11]

Определение. Пусть N — гладкое многообразие. Группа %n N) m-мерных неориентированных бордизмов многообразия iV —это абелева группа, образующими которой являются пары вида (замкнутое т-мерное многообразие М гладкое отображение а соотношения порождены такими парами fM,/], что М является краем некоторого компактного многообразия Ми причем найдется гладкое отображение fi Mi N такое, что f=fi 1 ал1, [c.199]

Все приведенные выше соотношения справедливы для групп Ли обш,его положения. Использование конкретных разложений полупростых групп Ли С в виде разложения Гаусса, Ивасава и Картана (см. I. 6) позволяет получить явные выражения для генераторов сдвига в соответствующ,ей параметризации групповых элементов. При этом процедура расчетов и структура окончательных выражений носит в известном смысле рекуррентный характер. Генераторы сдвигов на О записываются через генераторы сдвигов и матрицу присоединенного представления на подгруппах О, содержащихся в соответствующем ее разложении (т. е. максимальных нильпотентных, компактной и абелевой подгруппах О). Техника расчетов является совершенно одинаковой для всех этих параметризаций. Поэтому мы проиллюстрируем ее на примере разложения Ивасава (1.6.9), тогда как для остальных приведем лишь окончательные выражения. Все вычисления для определенности проведем для генераторов левых сдвигов правые находятся аналогично. [c.73]

Определение. Система, состоящая из описания (Ш, В, ( )), усреднимой группы симметрии О и инвариантного среднего т) на С, называется г -асимптотически абелевой, если [c.229]

Определение. Система, состоящая из описания (9 , ,( )), усреднимой группы симметрии G и инвариантного среднего т) на G, называется G-абелевой на состоянии ф из множества д, если [c.230]

Лемма. Пусть С — усреднимая группа симметрии в описании физической системы (3 , , ( )) (мы предполагаем, что группа С обладает ц-абелевостью)-, ф/ (/=1, 2) суть С-инвариантные состояния на 3 , причем ф] есть г -кластер] (лу (Э ), Uj (С) — ковариантное представление, ассоциированное с ф/ Ж, — пространство представления и Ф/ — соответствующий циклический вектор, Ц/ t) i — слабо непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, действующих в пространстве Ж) и таких, что П Ц) Ф/ == Ф е К лковариантное представление, определенное для всякого t е Й соотношениями [c.320]

Лемма. Пусть О — усреднимая группа симметрии в описании физической системы (3 , , ( )) [мы предполагаем, что группа О обладает ц-абелевостью)] (f Ц = , 2) суть О-инвариантные состояния на 3 , причем ф] есть ц-кластер (лу (Э ), П/ (С) — ковариантное представление, ассоциированное с ф/ <3 / — пространство представления и Ф/ — соответствующий циклический вектор-, [Ц] (/) и е К — слабо непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, действующих в пространстве и таких, что 0 t) Ф] — Ф/ К (Э ), ир (С) — ковариантное представление, определенное для всякого 1 е К соотношениями [c.321]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...