Резонансные кривые третьего и четвертого порядков

Я.2 = 2 не может привести к неустойчивости, если в нормализованной функции Гамильтона учесть все члены только до третьего порядка относительно координат импульсов. Этот резонанс не приводит к неустойчивости и при учете в гамильтониане членов четвертого порядка, так как при О < е 1 резонансная кривая Хх — 2 2 = 2 не пересекается с другими резонансными кривыми третьего и четвертого порядков. [c.157]

Теперь рассмотрим устойчивость для значений параметров е и (X, лежащих в области устойчивости в первом приближении, но не принадлежащих резонансным кривым третьего и четвертого порядков. При таких значениях параметров функция Гамильтона возмущенного движения при помощи преобразования Биркгофа может быть приведена к форме [c.160]

Теорема. В области устойчивости в первом приближении при (X, принадлежащем области (2.3) устойчивости в круговой задаче, и при значениях и е, не принадлежащих резонансным кривым третьего и четвертого порядков, треугольные тючки либрации в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел устойчивы для большинства начальных условий, если эксцентриситет достаточно мал. [c.160]

Рассмотрим устойчивость точек либрации для малых значений эксцентриситета. Покажем, что если параметры е и [д, находятся в области устойчивости в первом приближении и не принадлежат резонансным кривым третьего и четвертого порядков, то при достаточно малых значениях е (зависящих от fi) треугольные точки либрации устойчивы, если в нормальной форме функции Гамильтона пренебречь членами выше четвертого порядка по [Iр . [c.180]

Используя формулы 9, можно найти коэффициенты разложений резонансных кривых третьего и четвертого порядков в ряды по малому параметру е. Результаты представлены в табл. 16 (резонансы 3-го порядка) и 17 (резонансы 4-го порядка). [c.232]

Далее, соотношения (9.5) и табл. 10 — 14 позволяют построить в плоскости параметров А, 8 всевозможные резонансные кривые третьего и четвертого порядков, как бы соответствующие им числа N ни были велики. Для резонансов (9.4) с числами П , разного знака сразу же можно сделать заключение о формальной устойчивости. [c.234]

Для дальнейшего исследования надо привести к нормальной форме члены третьего и четвертого порядков в разложении функции Гамильтона. Нормальная форма будет различной в зависимости от того, будут параметры (х, е резонансными или нет. Оказывается, что в плоскости (I, е внутри области устойчивости линеаризованной задачи есть кривые, на которых выполняются резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Эти кривы при е = О исходят из точек оси Оц, выписанных во второй строке табл. 2 и 3. На рис. 14 внутри области устойчивости [c.155]

На рис. 16 и 17 изображены все резонансные кривые третьего в четвертого порядков. На всех кривых, кроме Ях -Ь 2Яа == О и [c.166]

Рассмотрим сначала случай плоской задачи, т. е. случай, когда материальная точка во все время движения не выходит из плоскости экваториального сечения эллипсоида. В статье [1841 показано, что в области I существуют кривые, на которых частоты W2 удовлетворяют резонансным соотношениям третьего и четвертого порядков = 2ш2 и = 3(02- Эти кривые представлены на рис. 48. Расчеты, проведенные в [184, 185], показали, что для значений параметров еа, e , лежащих на кривой со = 2(x)z и на части кривой tOi = 3(02, где выполняется неравенство —0,0634 < e —0,0629, точки либрации неустойчивы по Ляпунову. В остальной части области / точки либрации устойчивы по Ляпунову (кроме, быть может, двух точек кривой = Зюг, в которых e = —0,0634 или —0,t)629 эти две точки разделяют на кривой o)i = 3(02 интервалы устойчивости и неустойчивости, в них вопрос об устойчивости остался открытым). Отметим, что для исследования устойчивости в нерезонансном случае в работах [184, 185], как и в главе 7 настоящей книги, пришлось учесть в разложении гамильтониана члены до шестого порядка включительно относительно координат и импульсов возмущенного движения. [c.303]

На рис. 14 построены кривые, соответствующие резонансам ]С1%1 + 2 2 = N третьего и четвертого порядков ( 11 + 2 ( = = 3 или 4). На тех резонансных кривых, для которых целые числа кг и 2 имеют разные знаки, точки либрации устойчивы при учете в разложении функции Гамильтона членов до четвертого порядка включительно относительно координат и импульсов возмущенного движения если же на таких кривых не выполняются другие резонансные соотношения более высокого порядка (выше четвертого), то имеет место формальная устойчивость. На кривых резонансов третьего порядка с одинаковыми знаками чисел и 2 точки либрации оказались неустойчивыми по Ляпунову. На аналогичных кривых, соответствующих резонансам четвертого порядка, точки либрации либо неустойчивы по Ляпунову, либо устойчивы при учете в разложении гамильтониана членов до четвертого порядка включительно. Интервалы устойчивости и неустойчивости при резонансах четвертого порядка приведены в табл. 7. Устойчивость в случае кратных резонансов (соответствующих пересечению кривых резонансов третьего и четвертого порядков) не исследовалась. [c.170]

А каков ответ (кроме устойчивости по мере) на вопрос об устойчивости для значений параметров е я ц, которые лежат в не-заштрихованной части плоскости е, ц на рис. 18 и 19 и при которых нет резонансов третьего и четвертого порядков При достаточно малых е и значениях [д,, не принадлежащих резонансным кривым пятого и шестого порядков (в табл. 5 и 6 приведены соответствующие порождающие точки при е = 0), а также при [Л Ф 1х = 0,00861, ц Ф и" = 0,01656..., [X ф г" = 0,00509... и, быть может, значениям [д, из интервала (О, 0,0242938...), соответствующим двукратным резонансам выше шестого порядка, в настоящей главе мы показали формальную устойчивость точек либрации. А какова ситуация ири значениях е, не являющихся малыми и лежащих в незаштрихованных областях рис. 18 и 19 [c.170]

Случай резонанса четвертого порядка стоит несколько особняком. Дело в том, что в этом случае в нормальной форме имеются как резонансные, так и нерезонансные члены четвертой степени. Вид фазовых кривых укороченной системы зависит от того, какой из этих членов нормальной формы перетянет резонансный плп нерезонансный. В первом случае перестройка такая же, как для резонанса третьего порядка, только вместо треугольника — квадрат. Во втором случае перестройка такая же, как при п > 4. [c.365]

Для значений параметров е и ц, при которых не выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков, показана устойчивость для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий. При этом, кроме резонансных кривых третьего и четвертого порядков, пришлось исключить из рассмотрения кривые, на которых между коэффициентами нормальной формы выполнено соотношение Сц — 4с2оСо2 = 0. Эти кривые изображены на рис. 18 и 19 пунктирными линиями. Для значений параметров е я X, при которых нет резонансов третьего и четвертого порядков, было проведено исследование формальной устойчивости. На рис. 18 и 19 области формальной устойчивости отмечены штриховкой. [c.170]

В главе 9 задача устойчивости рассмотрена в строгой нелинейной постановке. Исследование проводится как аналитическими (при малых значениях эксцентриситета е), так и численными (при произвольных параметрах е и [х) методами. В области устойчивости в линейном приближении, полученной впервые Дэнби [110], выделены кривые, на которых выполнены резонансные соотношения третьего и четвертого порядков. Для значений параметров е ж ц, принадлежащих этим кривым, показаны либо неустойчивость, либо устойчивость в конечном (но достаточно высоком) нелинейном приближении. При значениях параметров, не принадлежащих этим кривым (а иногда еще и кривым, на которых выполнены резонансные соотношения пятого и шестого порядков), доказаны устойчивость для большинства начальных условий и формальная устойчивость. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...