Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем

ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ [c.372]

Возвращаясь к исходной гамильтоновой системе с тремя степенями свободы, получаем, что уравнения вращения тяжелого несимметричного твердого тела с неподвижной точкой не имеют дополнительного интеграла, коммутирующего с интегралом площадей, в виде формального ряда по степеням е с однозначными и аналитическими во всем фазовом пространстве коэффициентами. Учитывая известную связь между формальными по е интегралами и полиномиальными интегралами обратимых систем (см. 1, гл. П), приходим к следующему результату в несимметричном случае нет дополнительных интегралов в виде многочленов по импульсам с аналитическими на группе 50(3) коэффициентами, коммутирующих с интегралом площадей. [c.189]

Можно указать простые необходимые условия однозначности общего решения систем с экспоненциальным взаимодействием (их частный случай — обобщенные цепочки Тоды из п. 1) и связать их с наличием дополнительных полиномиальных интегралов. Рассмотрим гамильтонову систему с функцией Г амильтона [c.355]

В этой главе излагаются специальные методы поиска гамильтоновых систем, допускающих полиномиальные по импульсам первые интегралы. Актуальность такой задачи определяется прежде всего тем, что все известные интегралы в гамильтоновой механике либо полиномы по импульсам, либо функции от полиномов (см, 1 гл, II), Задача о наличии линейных и квадратичных интегралов вполне элементарна и обычно решается без труда. Существенные трудности представляет задача о полиномиальных интегралах, степень которых не фиксирована. Ее пока удается решить полностью лишь для некоторых классов гамильтоновых систем, [c.372]

Гамильтонову систему уравнений (4.2) назовем интегрируемой по Биркгофу, если она имеет п полиномиальных по импульсам интегралов с коэффициентами вида (4,6), независимых (как функции в VV" X W ) почти всюду. [c.388]

Замечание 1. Обобщение уравнений Пуанкаре-Жуковского на случай наличия силового поля рассматривалось в [56]. При этом получается гамильтонова система на прямой сумме е(3) so(3). В [56] приведены, без доказательства, некоторые необходимые условия существования дополнительных аналитических и полиномиальных интегралов и указан тривиальный аналог случая Лагранжа, заведомо существующий у подобных систем. [c.183]

Пусть Н имеет натуральный вид Г + V и каноническая замена р, q —> j/, х является расширением точечного преобразования q = /(х), у = df /дх) р. Если в некоторых новых симплектических координатах х, у исходная гамильтонова система решается методом разделения переменных, то тогда эта система имеет полный набор инволютивных интегралов, квадратичных по импульсам (см. п. 4). Обсуждение возможности разделения переменных в системах с квадратичными интегралами содержится в работе [143]. Задача о наличии полного набора полиномиальных интегралов гамильтоновых систем будет рассмотрена в гл. УП1. [c.100]

Пидкуйко С, И., Степин А, М, Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем // ДАН СССР, —1978, т, 239, 1,. 50-51. [c.423]

Зиглин С. Л, О полиномиальных первых интегралах гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием // Функц, анализ и его прил.- - 1991, т. 2.5, [c.419]

Основываясь на этих результатах, П. Пенлеве поставил общую задачу о связи между мероморфностью общего решения аналитических систем дифференциальных уравнений и наличием нетривиальных полиномиальных (или, более общо, алгебраических) интегралов. Однако оказалось, что однозначной связи здесь нет. Приведем соответствующие примеры для гамильтоновых систем [c.327]

В настоящее время имеется полная классификация систем с потенциальной энергией в виде любой конечной суммы вещественных экспонент, долускающих полный набор независимых полиномиальных по скоростям первых интегралов. Соответствующие результаты получены в работе [22]. Однако после предельного перехода от этих интегрируемых гладких гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием к дискретным системам не получается никаких новых интегрируемых биллиардов. Поэтому может создаться впечатление, что теорема 4 исчерпывает все биллиарды с полным набором независимых полиномиальных интегралов. Это, однако, не так например, биллиард в любом выпуклом [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...