ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Координатные системы и тензорные поля из "Эластичные жидкости " Уравнения и методы данной главы во многом опираются на работы Олдройда [ ], Грина и Зерна [ ], Грина и Адкинса Р]. Терминология, признающая и использующая различие пространственных и телесных полей, в реологических приложениях развита Лоджем [ ]. [c.379] Эта глава неизбежно окажется сложнее предыдущих. Предполагается знание читателем общего тензорного анализа в объеме книги Мак-Коннелла ). Обсуждение будет сжатым ввиду необходимости охватить весьма обширный материал. [c.379] Термин тензор используется в литературе в нескольких слегка различающихся смыслах. Поэтому сначала необходимо условиться относительно применения этого и других терминов в последующем анализе непрерывных многообразий. [c.379] Неопределяемыми элементами и исходными концепциями нашей логической структуры будут точка, множество, класс, соответствие, порядок, число и обычные операции анализа функций действительного переменного. [c.379] Многообразие определяется как совокупность точек (более известное слово пространство мы оставляем для того частного случая многообразия, где мы живем и в котором точки называются местами). [c.379] Тогда из взаимной однозначности соответствий Р х (так как х является координатной системой) и следует взаимная однозначность Р х Следовательно, совокупность также является координатной системой. Ограничим круг допустимых координатных систем только теми, которые могут быть получены с помощью непрерывных и достаточно дифференцируемых (т. е. дифференцируемых столько раз, сколько потребуется) координатных преобразований (12.1) и (12.2). [c.380] ОДИН раз. Координатную систему можно рассматривать как трехпараметрическое семейство координатных поверхностей = = (Известное представление координатной системы как набора трех линий или плоскостей, исходящих из специальной точки — начала, в общем случае неудовлетворительное.) Каждая точка представляется пересечением трех координатных поверхностей, по одной из каждого семейства. Ее координатами служат величины параметров пересекающихся поверхностей. [c.381] Заметим, что так называемые подвижные системы координат по нашей терминологии и представлениям есть последовательность различных координатных систем — по одной для каждого момента времени. Систему отсчета, зачастую называемую координатной системой, фиксированной в пространстве, будем называть пространственной координатной системой лишь в том случае, когда необходимо подчеркнуть, что с ней связано многообразие. [c.381] Соотношение (12.3) можно назвать законом преобразования для скалярного поля. [c.382] Здесь и везде далее мы пишем х вместо л , х , х , когда эти или другие аналогичные переменные являются аргументом функции. Таким образом, s(a ) означает s( , л 2, х ). [c.382] Чтобы полностью определить скалярное поле, очевидно, необходимо знать 1) многообразие, на котором ЭЮ поле определено, и 2) величину поля в каждой точке, или, что эквивалентно, функцию s(x), представляющую поле в какой-либо произвольно заданной координатной системе. [c.382] В целях последующего обобщения этих идей на векторные и тензорные поля необходимо выяснить различие между вектором (тензором) и его компонентами. Начнем с последнего. [c.382] Нижний индекс Р указывает на то, что частные производные относятся к точке Р. Повторяющийся индекс / (или любой другой буквенный индекс, встречающийся дважды один раз в верхнем и другой раз в нижнем положении) означает суммирование по величинам 1, 2, 3. [c.382] ПО себе можно определить как класс всех наборов совокупностей) компонент, представляющих этот вектор. [c.383] Представляемый таким способом класс совокупностей компонент есть процесс логической абстракции аналогичный использованному Уайтхедом и Расселом [ ] при определении количественного числительного. Любой набор трех объектов является представителем числа 3 число 3 есть класс всех наборов трех объек-тов — это то, что все они имеют общее. [c.383] Определенный выше вектор называется контрава-риантным вектором в точке Р. Контравариантное векторное поле есть такое соответствие между контрава-риантными векторами и точками многообразия, когда в каждой точке определен один вектор. В любой заданной координатной системе х такое поле определяет при однозначные функции v x), которые связаны с соответствующими функциями v (x) в любой другой КООР динатной системе х уравнениями типа (12.4), где компоненты и частные производные относятся к одной точке. Уравнения (12.4) дают закон преобразования для контравариантного векторного поля. [c.383] В случаях, когда не может возникнуть двусмысленности, будем пользоваться сокращенным термином контравариантный вектор иь вместо контраварнант-ное векторное поле, определенное на заданном многообразии и имеющее в заданной координатной системе д компоненты ч (л ) . Слово поле обычно опускается, так как мы почти всегда будем иметь дело с полями, а не с единичными векторами в точке. [c.383] Тензорные поля п-го ранга п 2) определяются ана логично, компоненты преобразуются как внешнее произ ведение п-векторов. Таким образом, скалярные и вектор ные поля можно рассматривать как тензорные нулевого и первого рангов соответственно. Если ранг не указы вается, то обычно имеется в виду тензор второго ранга особенно в частных приложениях общего формализма В общем анализе термин тензор может быть употреб лен для обозначения тензорного поля любого ранга. [c.384] Компоненты тензора в любой из возможных координатных систем могут быть получены из 2) и 3). [c.384] Можно было бы ограничиться линейными преобразованиями координат (это делается весьма часто). Однако в нашем анализе неоднородного напряжения и неоднородной деформации такое ограничение неприемлемо. Одной из главных причин применения в реологических приложениях понятия телесного поля является то, что при пользовании ими отпадает необходимость в сложении тензоров в двух или более различных точках одного и того же многообразия (необходимость сравнивать тензоры в соседних точках все же остается, так как этого требует ковариантное дифференцирование). [c.385] Вернуться к основной статье