Нормированная ’-алгебра

Комплексной (или действительной) алгеброй с инволюцией называется комплексная (или действительная) алгебра, наделенная инволюцией. Элемент А алгебры с инволюцией называется самосопряженным, если А = А. Банаховой алгеброй с инволюцией называется комплексная (или действительная) ассоциативная, нормированная алгебра с инволюцией, полная относительно топологии, индуцированной определенной на ней нормой, и такая, что II/ Ц = Ц II для всех Далее, [c.96]

Наконец, обычная операторная норма вводит норму на многообразии Ж, которое тем самым становится нормированной -алгеброй. Назовем 258 алгеброй Вейля. Повторяя еще раз доказательство теорем и следствий, приведенных в данном параграфе и в конце предыдущей главы, читатель без труда убедится в том, что эта алгебра обладает структурой, необходимой для применения метода ГНС. Чтобы воспользоваться конструкцией ГНС ), заметим прежде всего, что состояние ф на 2В полностью определяется функционалом [c.123]

Определим нормированную -алгебру А( с) следующим образом [c.304]

Используя структуру нормированной -алгебры Д(< с), установленную в теореме 11, мы можем построить теперь множество неэквивалентных представлений КПС, причем самый способ построения позволит тотчас же указывать физический смысл получаемых представлений. Мы будем следовать от общего к частному, начав с некоторых общих результатов. [c.332]

Нормированная -алгебра 304 Носитель функции 79, 124 [c.418]

Прежде всего необходимо признать, что первичным объектом теории служат поля и их средние значения. В пространстве Фока полевые величины Р 1) появляются как операторы, определение которых удовлетворяет всем требованиям современной математической строгости. Линейное многообразие 9 (определенное в приведенной нами конструкции пространства Фока) плотно в Ж, содержится в области определения операторов Р () и устойчиво относительно их действия. Рассмотрим более подробно сужения операторов Р 1) на 3 . Образуем все конечные линейные комбинации и произведения этих сужений. Пользуясь математической терминологией, можно сказать, что полученные операторы вместе с тождественным оператором I образуют алгебру, которую мы обозначим символом 91. Определим состояния как нормированные линейные функционалы (ф ) на Я. Рассматриваемая ками задача столь проста, что о введении топологии на 91 можно не заботиться. [c.37]

Пусть 3 (или 91) есть С -алгебра (или алгебра Сигала). Объектом (или 91 ), двойственным объекту Л (или 91), называется множество всех непрерывных линейных отображений ф, действующих из 91 (или 91) в С (или R ) Поскольку множества 3 , 91, С и Р — нормированные линейные пространства, линейные отображения ф, непрерывны в том и только в том случае, если они ограничены, т. е. в том и только в том случае, если [c.130]

Оператор проектирования Р из алгебры фон Неймана называется минимальным (другие названия точка или атом), если Р ФО п если из того, что Q е 9 , причем Q<3 S РЖ, следует , что оператор проектирования Q совпадает либо с О, либо с Р. Из изложенной выше классификации факторов, а также из общих свойств относительной размерности ясно, что фактор допускает минимальные операторы проектирования в том и только в том случае, если он дискретен. Кстати сказать, это утверждение остается в силе [77, гл. 1, 8, п. 3, следствие 1] для общих алгебр фон Неймана. Данное обстоятельство свидетельствует о серьезном недостатке тех подходов, использующих исчисление высказываний, которые основаны на предположении о существовании минимальных операторов проектирования. Для физика может представить интерес тот факт, что еще фон Нейман высказывал (хотя, насколько можно судить, и без достаточных оснований) предположение о том, что в физике могут встретиться факторы не только типа I, но и других типов. Фон Нейман считал особенно вероятным появление факторов типа П,, указывая на то, что на этих факторах (так же, как и на факторах типа 1 ) существует относительная размерность, нормированная к 1. Следовательно, на множестве всех операторов проектирования факторов типа П можно ввести определение конечной равномерной априорной вероятности. Как мы увидим позднее, другие факторы действительно встречаются в различных конкретных физических моделях. [c.176]

Теорема 10. Пусть 01 есть С -алгебра операторов, действующих на некотором гильбертовом пространстве Ж, таком, что 2(6 = R4 Щ. Для любого нормированного вектора Ф [c.258]

Д (< с). В дальнейшем нам нет необходимости различать между представлением яе=Р( с), рассматриваемым как представление нормированной С -алгебры Д ( с), банаховой алгебры с инволюцией Д1 (ё с) или С -алгебры А(ё с)- Попутно заметим, что С -алгебра Д (ё с) не слишком велика для того, чтобы изучать на ней множество всех представлений Вейля, удовлетворяюш,их лишь определяющим условиям I. Действительно, как мы видели ранее, множество До(< с), представляющее для нас основной интерес, порождает С -алгебру Д(< с) в смысле нормированных линейных пространств. [c.306]

С -алгебра А [Жс) является пополнением по норме только что рассмотренной нормированной С -алгеброй А[Жс). I [c.326]

В терминах -чисел строятся симметрично-нормированные идеалы алгебры 03. Напомним, что норма, заданная на двустороннем идеале 6 С 03, называется симметричной, если [c.54]

Ч Ж. Следовательно, оператор лц (/) принадлежит Ж) Кроме того, оператор Лц (f ) совпадает с оператором, сопряжен ным с оператором ЛуЦ). Наконец, оператор Лц([) линеен по и Яу (/, /2) = зту (/1) Лу (/г)- Таким образом, мы получили пред ставление инволютивной нормированной алгебры (О) огра ниченными линейными операторами, действующими на Ж. [c.222]

Чтобы получить представление о том, какой должна быть норма на Д ( с) для того, чтобы нормированная -алгебра Л (< с) превратилась в С -алгебру, установим прежде всего связь между А( Гс) и формой Вейля канонических перестано вочных соотнощений, Для каждой функции /е Гсобра ем [c.304]

Совокупность 5 некоторых элементов х, у, г,... называется линейной системой, если, не выходя из этой совокупности, над элементами этой системы можно производить оснорные линейные операции—сложение элементов и умножение элемента на скаляр — и эти операции подчиняются обычным правилам алгебры. О скалярах мы будем всегда предполагать, что они произвольные вещественные числа. Линейная система Н называется линейным нормированным (по ВапасЬ у) пространством, если каждому элементу (мы будем говорить— вектору) X С Е отнесено вещественное число л так, что выполняются следующие требования [c.151]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...