Дисперсионное соотношение с грузами

Глава 2. Свободные колебания систем со многими степенями свободы. В этой главе мы переходим к рассмотрению систем с очень большим числом степеней свободы и находим моды поперечных колебаний (стоячие волны) непрерывной струны, определяем волновое число к и вводим понятие о дисперсионном соотношении, связывающем (О и Мы используем моды непрерывной струны, чтобы ввести фурье-анализ периодических функций (п. 2.3). В п. 2.4 дано точное дисперсионное соотношение для струны с точечными грузами. [c.12]

Точное дисперсионное соотношение для струны с грузами. Предположим, что уравнение (69) справедливо для любого груза л, независимо от того, равно или нет Л нулю в данной моде. Поэтому мы можем рассматривать груз, который находится вне узловой точки, т. е. груз, для которого Л не равно нулю. После сокращения на Л получим условие, которому должна удовлетворять наша догадка, чтобы быть на самом деле решением [c.81]

Выражение (70), связывающее частоту и длину волны А, (или волновое число) для данной моды, называется дисперсионным соотношением для струны с грузами. [c.81]

Уравнение (65) для мод было получено без рассмотрения граничных условий. (На рис. 2.11 нет никаких границ). Наиболее общее решение этого уравнения имеет вид (71), где BIA и k определяются из граничных условий. Если подставить решение (71) в уравнение (65), то мы найдем дисперсионное соотношение (70), не зависящее от граничных условий, т. е. от величин А, В и k. Сделайте это сами (задача 2.19). Для наших граничных условий (струна закреплена в точках г=0 и z=L) моды определяются уравнением (72), с коэффициентами из уравнений (73), а частоты следуют из уравнения (70). Заметим, что моды, следующие из уравнений (73), те же, что и в случае непрерывной струны. Разница лишь в том, что у непрерывной струны N=oo и для нее нельзя указать самой высокой моды. Заметим также, что у струны с грузами сегменты между грузами являются отрезками прямой, а не гладкими синусоидальными функциями. На рис. 2.12 показан случай, когда N=5. [c.82]

Физический смысл ka. Вы могли заметить, что в уравнение (85) не входит расстояние а. На рис. 2.16 мы условно показали это расстояние, понимая, однако, что поведение схемы не может зависеть от ее пространственной конфигурации. Что же следует понимать под величиной ka в дисперсионном соотношении и в уравнениях (86) и (87) Когда понятие длины по оси z имело физический смысл, например для колебаний струны, величина k имела смысл изменения, на единицу длины по оси г, фазы функции А sin кг В os kz, определяющей форму моды. В случае системы с сосредоточенными параметрами, например для струны с грузами, мы пишем г—па, где п=, 2,.., [c.88]

Найдите конфигурации и частоты мод для поперечных колебаний струны с пятью грузами и одним закрепленным и другим свободным концами. Постройте пять соответствующих точек дисперсионного соотношения ш(/г) подобно тому, как это сделано на рис, 2,13. [c.99]

Для частотного диапазона, в котором вынужденные колебания синусоидальны, дисперсионное соотношение (79) совпадает с дисперсионным соотношением для мод свободных колебаний. [См. п. 2.4, уравнения (2.90)— (2.92).] Это не случайно. При выводе дисперсионного соотношения в обоих случаях мы находили уравнение движения груза и затем предполагали, что все движущиеся элементы совершают гармоническое движение с одной частотой со (в одном случае с частотой моды, в другом — с частотой установившихся колебаний) и с одинаковой фазовой постоянной. Таким образом, это общий результат дисперсионное соотношение для вынужденных синусоидальных колебаний то же, что и для свободных колебаний, [c.135]

Л р и м е р 1. Поперечные волны в струне с грузами. Дисперсионное соотношение ) для поперечных волн в струне с грузами имеет вид [см. уравнение (2.70), п. 2.4] [c.156]

Струна с грузами. Выведите выражения для групповой скорости бегущих волн в струне с грузами. Нарисуйте (грубо) график дисперсионного соотношения для струны с грузами при изменении k от fe=0 до максимального значения. Нарисуйте (грубо) график зависимости групповой скорости от fe и график зависимости фазовой скорости от k для 0[c.287]

Дисперсионное соотношение для струны рояля. Мы нашли, что моды реальной струны не удовлетворяют дисперсионному соотношению (75). Поэтому можно ожидать, что обертоны струны рояля, например обертоны С256, 0384 и С512 основного тона С128, не будут выдерживаться точно. Действительно, это так. Из уравнения (74) или из графика рис. 2.13 видно, что возрастание волнового числа й вызывает не прямо пропорциональные, а несколько меньшие увеличения частоты. Поэтому можно ожидать, что обертоны струны рояля будут чуть-чуть ниже предсказываемых теорией для непрерывной струны частота второй гармоники будет Уа< 256, третьей Уз< 384 и т. д. На самом деле это не так Обертоны струны рояля не будут ниже, они будут выше (т. е. будут диезными) обертонов, следуюш,их из уравнения (75). Объяснение в том, что ни модель совершенно непрерывной и совершенно упругой струны, ни модель струны с грузами не дают правильного описания колебаний струны рояля. В частности, модель струны с грузами хуже модели непрерывной струны, так как она дает поправку, знак которой неверен. [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...