Каноническая кривая со- и а-предельного

Пусть С — каноническая кривая предельного континуума (см. [c.439]

Доказательство. Пусть в случае а) существуют две входящие в состав континуума К - простые замкнутые кривые и 8 , из которых одна—5 , — лежит внутри другой — 8- . Так как по условию континуум лежит внутри канонической кривой С, то кривая 8 лежит внутри кривой С, а точки всякой канонической окрестности континуума К - очевидно, лежат вне кривой х- Но точки кривой 5 , лежащей внутри 5 ., не могут быть ни ю (ни соответственно а)-предельными для траекторий, лежащих вне кривой ни граничными для ячейки, заполненной замкнутыми траекториями, точки которой лежат вне кривой 8 . [c.439]

Лемма 9. Пусть предельный континуум Ю состоит более чем из одной простой замкнутой кривой 5 . Тогда а) если все простые замкнутые кривые г лежат одна вне другой, то каноническая кривая С содержит континуум АГ внутри себя б) если среди простых замкнутых кривых одна, например 8 , содержит внутри себя остальные, то каноническая кривая С лежит внутри кривой 8 и вне всех остальных кривых 81 г ф 1). [c.440]

Рассмотрим канонические кривые С и С континуумов и K , т. е. либо циклы без контакта, либо замкнутые траектории в зависимости от того, являются ли Ю и К О)-, а- или О-предельными. Пусть у и у — канонические окрестности этих континуумов, ограниченные соответственно кривыми С и С. [c.446]

Рассмотрим циклы без контакта С) и (а), т. е. циклы без контакта, входящие в границы канонических окрестностей предельных континуумов как не являющихся состоянием равновесия, так и являющихся состоянием равновесия (узлом). Те из этих циклов без контакта, которые не имеют ни одной общей точки с особыми полутраекториями, будем называть свободными циклами без контакта (С) и (а). Очевидно, каждый свободный цикл без контакта (С) и (о) входит в границу канонической окрестности (уг) или gi) свободного континуума, не являющегося состоянием равновесия или свободного узла. Свободный цикл без контакта С) или (а) будем называть со- или а-циклом в зависимости от того, входит ли он в границу канонической окрестности со- или а-предельного континуума (и, в частности, устойчивого или неустойчивого узла). Если граничная кривая (Г) является циклом без контакта и при этом ни одна ее точка [c.458]

Как уже указывалось выше, один из двух сопряженных циклов или даже оба сопряженных цикла могут быть граничными кривыми. Рассмотрим случай, когда хотя бы один из двух сопряженных свободных циклов ие является граничной кривой Г. Тогда существует со- или а-предельный континуум, в частности, могущий быть узлом, которому этот цикл принадлежит (т. с. или К , в границу канонической окрестности которого входит зтот свободный цикл). Имеет место следующая [c.464]

В дальнейшем мы преимущественно будем рассматривать замкнутую каноническую окрестность уг,- Будем в дальнейшем называть канонической кривой со-, а- или 0-предельного континуума Ю простую замкнутую кривую С, входящую в грашщу канонической окрестностп этого континуума и являющуюся циклом без контакта — в случае, когда [c.426]

Теорема 74. Пусть Ю и К — два предельных континуума, С и С — их канонические кривые и у и у — канонические окрестности, ограниченные каноническими кривыми С и С. Если полные схемы континуумов Ю и тождественны, то 1) континуумы К и К одинаково расположены относительно своих канонических кривых С и С 2) существует топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у друг в друга, переводящее траектории в траектории, при котором особые траектории и особые полут,раектории в случае несвободных континуумов), соответствующие друг другу по схеме, отображаются друг в друга. [c.446]

Пусть, далее, К . . ., АУ (К) — все (односторонние) предельные континуумы динамической системы D, отличные от состояний равновесия, расположенные в G, Yj, Ysi > (y) — их канонические окрестности, i, С2, - - -, jf (С) — соответствующие канонические кривые континуумов (К) каждая кривая Сг является либо циклом без контакта, либо замкнутой траекторией и вместе с предельным континуу-мом Ki составляет границу канонической окрестности уг- [c.454]

Рассмотрим теперь предельный континуум К , не являющийся состоянием равновесия. Ни одна точка границы области пли угловой дуги не может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного случая, когда граничная замкнутая кривая является орбитно-устойчивой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой ячейки т, заполненной замкнутыми траекториями (см. 24, п. 1). Но в зтом случае канонической кривой континуума К является любая замкнутая траектория ячейки т, а такая траектория, а также соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки ш, очевидно, не имеет общпх точек с множеством Е. Во всех же других случаях предельный континуум К состоит из орбитно-неустойчивых траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда, очевидно, всякая каноническая окрестность этого континуума К 1, лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в 11 при достаточно малом е > О не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Доказательство. Пусть С и С — два сопряженных цикла без контакта, и пусть внешний цикл С не является граничной криво Г. Для доказательства предположим противное, т. е. что континуум К - которому принадлежит цикл С, лежит внутри этого цикла. Но цикл С тоже лежит внутри цикла С. В кольцевой области между циклами С и С не может лежать ни одпой особой траектории (см. замечание к лемме 1). Отсюда очевидно, что К , которому принадлежит цикл С, лежит и внутри цикла С. Но это означает, что цикл С лежит в канонической окрестности у континуума Ю , ограниченной кривой С. В случае, когда цикл С является граничной кривой Г, это невозможно, так как но самому определению канонической окрестности предельного континуума в ней но может лежать граничная кривая Г. Но это невозможно также и в случае, когда цикл С не является граничной кривой Г в силу того, что выбранная система канонических окрестиостси правильная. Полученное противоречие доказывает утверждение леммы, касающееся внешнего из двух соиряжепных циклов. Совершенно аналогично проводится доказательство и при рассмотрении внутреннего сопряженного цикла. Лемма доказана. [c.464]

Принимая во внимание, что каноническая кривая состояния равновесия может быть циклом без контакта лишь в случае, когда состояние равновесия есть узел, а также в силу леммы 1 25 нетрудно видеть, что 1) внутренний континуум Кы является либо узлом, либо простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо составлен из нескольких простых замкнутых кривых легкащих одна вне другой (если не считать их общих точек) 2) внешний континуум К К а) либо является простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо состоит из нескольких простых замкнутых кривых и тогда одна из этих замкнутых кривых, о, содержит внутри нее остальные, лежащие одна вне другой. Если К - и К - — два сопряженных предельных континуума, то, очевидно, внутренний континуум К лежит внутри кривой о внешнего континуума К - [c.465]

Лемма 4. Нулъ-предельный континуум, которому принадлежит внешняя из двух сопряженных канонических кривых, лежит ене этой кривой, а 0-пределъный континуум, которому принадлежит внутренняя из двух сопряженных канонических кривых, лежит внутри нее. [c.466]

Доказательство. Утверждение для граничной кривой Г очевидно. В самом деле, если Г есть граничная кривая, лежащая внутри "о и содержащая внутри себя, то точки области С существуют как внутри, так и вне кривой Г, что противоречит определению граничной кривой. Предположим теперь, что существует простая кривая входящая в состав какого-нибудь предельного континуума лежащая внутри кривой "ц и содержащая внутри себя. Предположим для определенности, что есть со- или а-предельный континуум, состоящий из кривой 8 и расположенных внутри нее и вне друг друга простых замкнутых кривых "а,. . . , 8р, а соответственно а- или со-предельный континуум, состоящий из расположенных вне друг друга простых замкнутых кривых "1, 5 2, -, "д. Пусть С и у и соответственно С ш у — каноническая кривая и окрестность континуума К - и Кривая 5 не может лежать внутри какой-нибудь из кривых 8, . . ., 8 р или 8г,. . . , 8д, так как тогда и континуум лежал бы внутри тако11 кривой, что, очевидно, невозможно. Кривая не может также иметь общих точек с окрестностями у и у, так как внутри этих окрестностей нет точек особых траекторий. Следовательно, кривая 5 должна быть целиком расположена в области i , ограниченной кривыми С и С. Но это невозможно (см. лемму 16 3). Аналогично доказывается утверждение леммы в случае, когда и являются соиряженными 0-нредель-ными континуумами и когда один из них или оба являются граничными циклами без контакта. Лемма доказана. [c.467]

Канонические окрестности у i и YI и канонические кривые t и С соответствующих друг другу по схеме предельных континуумов КУ и А" соответствуют друг другу. При этом а) если континуум КУ лежит вне внутри) канонической кривой i, то и континуум К У лежит ене внутри) канонической кривой С б) если канонические кривые j и i свободных а- и а-предельных или О-предельных континуумов являются сепряженными, то соответствующие им канонические кривые С] и С тоже являются сопряженными. [c.487]

Если возмущение не является малым, то его нельзя представить в простой канонической форме. Но в предельном случае бесконечно тонкой вихревой нити возмущенное состояние опять можно описать одной из кагюниче-ских кривых - винтовой линией [c.169]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...