Канонический ансамбль и плотность распределения

Сравнение метода канонических собраний с методом микроканонических. Канонический ансамбль состоит из большого числа N систем одной и той же природы, которые можно рассматривать как копии одной из них, находящихся в различных состояниях. Но эти собрания отличаются от тех, которые мы уже рассматривали, значительно большей общностью предположений о состояниях, в которых могут находиться системы, составляющие одно из собраний. Действительно, мы не введем ограничения, что системы обладают определенной энергией. Изображающие точки вместо того, чтобы находиться в тонком слое около поверхности данной энергии в многомерном пространстве, распределены по всей фазовой протяженности S. Это распределение будет обладать определенной плотностью /э, выбранной таким образом, что состояние собрания всех систем стационарно, т. е. что несмотря на непрерывное движение изображающих точек, плотность остается все время той же в определенной точке пространства Е. Величина р должна, таким образом, быть функцией всех q и />, в которую время явным образом не входит. Основываясь на теореме Лиувилля, легко видеть, какова должна быть природа этой функции q и р. [c.47]

Мы пришли бы к тому же результату, если бы мы приняли плотность за произвольную функцию энергии между границами s и а" и равной нулю вне этих границ. Таким образом,, предельное распределение, получающееся из части канонического ансамбля между двумя границами энергии, при бесконечном уменьшении разности между граничными значениями последней не зависит от модуля, но вполне определяется энергией и тождественно с предельным распределением, получающимся, если исходить из равномерной плотности между границами энергии, приближающимися к одному и тому же предельному значению. [c.119]

В 9, в заключении статьи, Пуанкаре доказывает, что если начальная плотность вероятности была канонической функцией квадрата скорости, то при любых, как адиабатических, так и неадиабатических, изменениях внешних параметров кинетическая энергия в любой, более поздний (в частности, сколь угодно близкий) момент будет больше. В этом выводе Пуанкаре использует свойство тонкой энтропии сохранять свою величину. Следовательно, рассуждения Пуанкаре относятся к Г-пространству (так как только в Г-пространстве можно гово-рить об этом свойстве). Но в Г-пространстве величина, рассматриваемая им как кинетическая энергия системы, не имеет ничего общего с кинетической энергией данной системы,. а является средней кинетической энергией ансамбля. Доказываемое же им утверждение оказывается тривиальным следствием предположения о плотности распределения ансамбля в начальный момент, не имеющим никакого отношения к изме- [c.51]

КАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ И ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ [c.204]

Уравнение (5.37) дает плотность распределения вероятности для канонического ансамбля, изображающего систему при термодинамическом равновесии. Используя это выражение, в принципе можно рассчитать [см. соотношения (5.27)] среднюю величину любого физического параметра Е систем. Когда флуктуации (5.23) величины Е пренебрежимо малы, среднее значение Е можно интерпретировать как величину, которая может быть измерена для данной физической системы. [c.210]

В каноническом ансамбле системы распределены в Г-пространстве с плотностью 9) = ехр[—рЯ(р, д)], которая представлена на фиг. 51. Плотность точек при удалении от начала координат Г-пространства падает экспоненциально. Распределение систем по энергиям находится подсчетом точек, расположенных на соответствующих энергетических поверхностях. При удалении от начала энергия увеличивается, но увеличивается также и площадь энергетических поверхностей. Вот почему и возникает пик в распределении по энергиям. Острота этого пика зависит от быстроты роста площади энергетических поверхностей с увеличением энергии Е. Для системы N тел эта площадь растет как е , где Е [c.180]

Г-пространство большого канонического ансамбля заполняется представляющими точками со всеми каноническими импульсами и координатами систем с числом частиц, равным О, 1,2,,.. Плотность, описывающая распределение представляющих точек в Г-пространстве. обозначается символом р(р, q, N) это плотность представляющих точек для системы с N частицами и с импульсами и координатами (р, q). Чтобы найти р(р, q, N), рассмотрим канонический ансамбль для системы, состоящей из N частиц, заполняющей объем V и обладающей температурой Т, но фиксируем внимание на малой подсистеме объема являющейся частью нашей системы. Плотность p(pi> q. Л/,) пропорциональна вероятности того, что в малом объеме содержится частиц с каноническими переменными р , q . [c.182]

Вводя понятие плотности вероятности для канонического распределения Гиббса, мы рассматривали множество экземпляров одной и той же системы с одинаковыми числами частиц и объемами (канонический ансамбли Гиббса). Рассмотрим теперъ более широкий ан- [c.312]

В литературе по статистической механике ([11,331 и т. д.) можно найти пространные обоснования уравнений (3.3) и (3.4). Можно найти также принадлежащее Гиббсу доказательство того факта, что каноническое распределение (3.4) лишь слабо отличается от микроканонического распределения, определяемого ансамблем, все системы которого имеют одинаковую энергию П. Другими словами, фазовые точки ансамбля, распределенного согласно (3.4), остаются практически сконцентрированными внутри непосредственной окрестности одной поверхности энергии. На первый взгляд это утверждение представляется несогласующпмся с тем фактом, что, в силу (3.4), вероятность монотонно возрастает при пересечении поверхности энергии в направлении убывающих значений Н. На самом деле между этими двумя утверждениями нет противоречия. Рассмотрим семейство эквидистантных поверхностей энергии, разделяющих фазовое пространство на слои. Перемещаясь от слоя к слою, мы находим, что фазовая плотность меняется монотонно. Поскольку объем последовательных слоев изменяется в противоположном [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...