Бесконечные неблуждающие множества

Бифуркационная поверхность может отделять системы Морса—Смейла от систем с бесконечным неблуждающим множеством — при переходе через нее может, например, рождаться странный аттрактор или нетривиальное гиперболическое множество (определение см. в [198]), или сложное предельное множество, содержащее бесконечно много траекторий. [c.95]

Какова структура компонент бифуркационного множества, отвечающих системам с бесконечным неблуждающим множеством [c.110]

Бесконечные неблуждающие множества [c.149]

Здесь описывается компонента границы множества систем Морса—Смейла, состоящая из потоков с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Во всех приводимых ниже примерах типичные точки границы недостижимы. Так ли это в общем случае, неизвестно. В частности, неизвестно, верно ли, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей рождению бесконечного неблуждающего множества предшествует одна из бифуркаций, описанных в предыдущих параграфах (появление негиперболической особой точки или цикла, или траекторий, принадлежащих простому касанию либо не-трансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки и (или) цикла). [c.149]

Для любого однопараметрического семейства -гладких, r l, векторных полей на Т , непрерывно зависящих от параметра и обладающих при каждом его значении глобальной секущей, число вращения непрерывно зависит от параметра. Если оно изменяется, то неминуемо принимает иррациональные значения. Следовательно, системы с бесконечным неблуждающим множеством встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, обладающих разными числами вращения хотя бы для двух значений параметра. [c.149]

Зафиксируем окрестность точки v и обозначим через множество векторных полей, лежащих в ней и обладающих бесконечным неблуждающим множеством (нетривиальными устойчивыми по Пуассону траекториями). [c.150]

Справедливо ли это хотя бы для диффеоморфизмов диска, — неизвестно. Возможно, что еще до того, как произойдет бесконечное множество бифуркаций удвоения периода, уже возникает бесконечное неблуждающее множество за счет касания многообразий седловых точек. [c.152]

Если для некоторой системы на есть глобальная секущая, — компактная трансверсаль ко всем траекториям системы,— то можно ввести число вращения Пуанкаре, иррациональному значению которого соответствует наличие незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории. По теореме Биркгофа (см., например, [91]) в замыкании незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории содержится континуальное множество незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, каждая из которых всюду плотна в нем. Таким образом, если система имеет иррациональное число вращения, то ее неблуждающее множество содержит бесконечное множество траекторий. [c.149]

Системы с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. [c.86]

Заметим, что бифуркационные поверхности , отвечающие наличию бесконечного множества неблуждающих траекторий, недостижимы во всех точках, кроме V. [c.151]

Очевидно, поле гладко и гладко зависит от е. При е<0 поле Ve задает систему Морса—Смейла, поскольку поле w этим свойством обладает, и преобразования монодромии дна трубки В на ее крышку у полей и w совпадают. При е О поле имеет бесконечное множество неблуждающих траекторий, заполняющих четыре тора. Семейство d построено. [c.155]

Таким образом, при N 3 для фазовых потоков в определенном смысле типично наличие бесконечного множества Q гиперболических неблуждающих точек со всюду плотным в нем множеством периодических траекторий (Аносовым (1967) обнаружены даже потоки, у которых гиперболическим множеством является все фазовое пространство). [c.128]

Предположим теперь, что для некоторого векторного поля на число вращения рационально. Если векторное поле — общего положения, на то имеется четное число предельных циклов, половина устойчивых, половина неустойчивых. Число вращения может измениться только после того, как эти циклы перестанут существовать. Их исчезновение связано с прохождением мультипликаторов через +1. Таким образом, векторное поле с бесконечным неблуждающим множеством (и с глобаль- [c.149]

Лемма (В. С. Афраймович, 1985). Если векторное поле, удовлетворяющее требованиям, наложенным в примере 2 или 3, имеет гомоклиническую траекторию цикла, по которой трансверсально пересекаются множества 5 и S , то все векторные поля из некоторой окрестности поля в пространстве х (Л ) имеют бесконечное множество неблуждающих траекторий и, следовательно, поле не принадлежит границе множества векторных полей Морса—Смейла. [c.91]

Рассматривая Ж, в качестве исходного пространства, находим непустое замкнутое (и, слздовательно, компактное) инвариантное множество неблуждающих в Л4, точек Продолжая этот процесс, получим бесконечную цепочку вложенных друг в друга непустых замкнутых множеств [c.55]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...