ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Фазовая плоскость и качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории из "Введение в теорию нелинейных колебаний " Рассеяние энергии, связанное с наличием трения, оказывает существенное влияние на характер движения динамической системы, поэтому изучение этого влияния представляет определенный интерес. Наиболее простые закономерности выявляются в системе с полной диссипацией энергии, т. е. в такой системе без источников энергии, в которой силы трения действуют по всем степеням свободы. Рассмотрим сначала простейший пример системы с полной диссипацией энергии. [c.37] Таким образом, на плоскости иу фазовыми траекториями служит семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат. На плоскости ху фазовые траектории также представляют собою спирали, скручивающиеся к началу кЬординат (рис. 2.18). Двигаясь по любой из этих фазовых траекторий, изображающая точка асимптотически (при t- +00) приближается к началу координат, где находится особая точка — устойчивий фокус. Точка X = О, у = Q представляет собою отдельную фазовую траекторию, соответствующую асимптотически устойчивому состоянию равновесия осциллятора. [c.39] В граничном случае (б = 1) также получаем семейство интегральных кривых параболического типа, а в начале координат — устойчивую особую точку типа узла. [c.39] Таким образом, при любых значениях физических параметров в области ё О рассматриваемая система обладает единственным глобально устойчивым состоянием равновесия какие бы начальные условия мы не задавали, система совершает затухающие (периодические или апериодические) движения. [c.39] Отсюда следует, что при любых начальных условиях изображающая точка в фазовом пространстве ( 7i, 72,. , п, Qi, 2. [c.40] Согласно уравнениям (3.1), состояние системы второго порядка полностью определяется значениями х, у, поэтому ее фазовое пространство является двумерным, т. е. некоторой поверхностью. [c.41] другими словами, установить топологическую структуру ЭТОГО разбиения. Под топологической структурой принято понимать все те свойства, которые остаются инва-ри Гнтными при топологическом (т. е. взаимно однозначном и непрерывном) преобразовании плоскости в себя. [c.42] Оказывается, что для выяснения качественной картины для системы второго порядка нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых из них, называемых особыми траекториями. К последним относятся состояния равновесия, предельные циклы и незамкнутые траектории, у которых хотя бы одна полутраектория (т. е. кривая, описываемая изображающей точкой при t +00 или при — XD из начального положения точки в момент времени t = о) является сепаратрисой какого-нибудь состояния равновесия. Если взаимное расположение этих особых траекторий известно и, кроме того, определена устойчивость состояний равновесия и предельных циклов, то мы получаем полную качественную картину разбиения плоскости ху на траектории. [c.42] Особые траектории разделяют фазовую плоскость на конечное число ячеек, поскольку из аналитичности правых частей системы (3.1) вытекает, что число особых траекторий конечно. Граница каждой ячейки состоит из особых траекторий, причем точки одной и той же траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. Все ячейки заполнены неособыми траекториями, поведение которых одинаково. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же предельные множества. Если же внутри какой-нибудь ячейки существует хотя бы одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке. Основной топологической характеристикой, отличающей одну ячейку от другой, является ее связность. [c.42] На рис. 3.1 приведены примеры более сложных ячеек односвязной (рис. 3.1, а) и двухсвязной (рис. 3.1, б), где ячейки выделены штриховкой. [c.43] Очевидно, что ячейки с неодинаковым числом связности заведомо топологически различны. В качественной теории доказывается, что всякая ячейка не более чем двухсвязна. [c.43] если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. полностью выяснить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории. [c.43] Вернуться к основной статье