Приведение к трехдиагональному

В приведенных вариантах алгоритма производится обращение к процедуре решения системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной симметричной матрицей. Текст ее, несколько измененный по сравнению с опубликованным ранее , приводится ниже. [c.216]

Собственно конструирование сплайна является простой и стабильной процедурой. Нужно решить систему 4п линейных алгебраических уравнений для коэффициентов. Если оба свободных коэффициента используются на одном конце сплайна, то его построение тривиально, поскольку можно постепенно двигаться от этого узла к другому, определяя три коэффициента из условий непрерывности, а четвертый — из значения потенциала в очередном узле для каждого интервала. Процедура усложняется, если, как это обычно и бывает, два свободных условия используются на разных концах. Тогда приходится решать систему уравнений целиком, что, впрочем, не составляет проблему даже для очень больших значений п. Уравнения всегда могут быть расположены таким образом, что соответствующая матрица будет симметричной и трехдиагональной , т. е. все ненулевые члены будут расположены в ней на диагонали и двух прилегающих к ней линиях . В этом случае система элементарно решается любым прямым методом, например методом приведения Гаусса с обратной подстановкой (см. разд. 3.3.2.1). [c.176]

Решение в приведенном выше случае имело простой вид из-за того, что матрица А была трехдиагональной. Другими словами, в ней отличны от нуля только члены, расположенные по главной и по двум соседним с ней диагоналям. Однако, когда рассматривается неодномерная геометрия, то матрица становится более сложной и для ее обращения применяются другие методы, чаще всего итерационные, а не прямые. В этих методах используются некоторые общие свойства матрицы А, которые особенно наглядно проявляются в уже рассмотренном простом случае. В частности, из определений коэффициентов а-, [c.109]

ПРИВЕДЕНИЕ К ТРЕХДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ [c.147]

В настоящее время наиболее эффективный в вычислительном отношении алгоритм решения проблемы собственных значений симметричных матриц произвольной структуры базируется на методе Хаусхолдера ортогонального подобного приведения анализируемой матрицы к трехдиагональному виду. Трехдиаго-нализация (п X га)-матрицы А осуществляется на основе ненте-рационной вычислительной процедуры, состоящей из г — 2 шагов последовательных преобразований подобия исходной матрицы А. На каждом шаге в качестве матриц преобразования используются ортогональные матрицы отражения Р следующего вида [95] [c.228]

Целесообразность подобного приведения динамической матрицы А к трехдиагональному виду обусловлена тем, что проблема собственных значении трехдиагональных матриц решается исключительно эффективно при помощи численно устойчивых алгоритмов простой структуры [95]. Предположим, что динамическая матрица А исследуемой модели подобно преобразована по Хаусхолдеру в симметричную трехдиагональную матрицу С. Информационно существенное содержание (га X и)-матрицы С характеризуется ее п диагональными элементами jf,- и п — I над-диагональными элементами i+i [c.228]

Предварительного приведения к трехдиагональной форме Полная нли частичная проблема собственных значений ММс 1 р п Чп ап JJlVirl- това [c.80]

Метод вращений имеет несколько вычислительно-ориентированных модификаций, сокращающих непроизводительные затраты машинного времени на поиск наибольшего по модулю внедиагонального элемента (циклический метод вращений, метод вращений с барьерами [22]) или уменьшающих влияние ошибок округления [106]. Метод гарантирует точность, сравнительную с точностью вычислительной машины, на которой реализован алгоритм. Для этого требуется от 6 до 10 циклов или от Зга до вращений. Метод прост и компактен. Этот метод неэффективен при использовании двухступенчатой памяти. По затратам машинного времени он уступает методам, основанным на предварительном приведении к трехдиагональной форме, поскольку не использует преимуществ симметричных ленточных матриц. [c.81]

Методы, основанные на приведении симметричной матрицы к трехдиагоиальной форме. Эти методы позволяют использовать свойства симметричных трехдиагональных матриц [c.82]

В метода Хаусхолдера приведение к трехдиагональной форме осуществляется при помощи матриц отражения Р = Е — 2ww , w fw = 1. Процесс приведения требует приблизительно 2)г /3 умножений и около п извлечений квадратных корней. [c.83]

Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с тедш же собственными значениями, но более простого вида. Очевидно, самым лучшим упрощением было бы приведение матрицы к чисто диагональному виду, так как в этом случае собственные значения просто соответствовали бы элементам матрицы, стоящим на главной диагонали. К сожалению, большая часть методов преобразования не позволяет этого сделать, и приходится довольствоваться приведением матрицы к трехдиагональной форме. [c.57]

На каждом основном шаге изменяются лишь те элементы мат-р1щы йц, которые расположены в ее правой нижней (заштрихованной) части. Таким образом на к-и шаге преобразуется только матрица порядка (п — к + 1), занимающая правый нижний угол исходной матрицы. Ясно, что на каждой следующей стадии выполняется меньшее число преобразований, чем на предыдущей. Всего для приведения матрицы к трехдиагональному виду требуется выполнить (п — 3 -)- 2)12 преобразований. [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...