Отображение складывания

Отображение складывания (локальная нормальная форма (и, и, ш) - -(ы V, ш)) назовем согласованным с хвостом, если поверхность критических значений содержит ребро возврата хвоста, а полупространство значений содержит хвост. [c.147]

A) Образ поверхности общего положения с полукубическим ребром возврата при отображении складывания трехмерного пространства локально диффеоморфен (в окрестности точки пересечения ребра возврата с поверхностью точек складки) сложенному зонтику (см. [16]). [c.148]

Заметим, что при (3 = 0 мы возвращаемся к квадратичному отображению. При I (3 I < 1 отображение уменьшает площади в плоскости ху. Кроме того, оно вытягивает и изгибает области на фазовой плоскости, как это показано на рис. 1.20. В результате этого растяжения, сжатия и изгиба или складывания областей фазового пространства получаются области, напоминающие подкову. Последовательные итерации таких отображений типа подковы приводят к появлению в фазовом пространстве сложных орбит, потере информации о начальных условиях и хаотическому поведению. [c.37]

Рис. 1.21. Отображение подкова вытягивание, сжатие и складывание после боль-

Рис. 1.21. Отображение подкова вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре.

Интуитивно отображение / можно представлять себе как складывание х-плоскости вдоль оси Х2 = О и проектирование ее на у-плоскость, причем складка проектируется на ось /2 == 0. Далее, д складывает -плоскость вдоль другой оси у, =1 О и проектирует ее на 2-плоскость под углом к образу первого складывания. На рис. 1 показан образ композиции отображений в х-плоскости множество Ландау (множество [c.156]

Сложенный зонтик впервые появился в теории особенностей по своему другому поводу (как особенность бикаустики, заметаемой ребрами возврата движущихся каустик, см. [22]). Проведенный выше анализ в этих терминах означает исследование разбиения бикаустики на мгновенные ребра возврата каустик. Сложенным зонтиком эта поверхность названа потому, что она получается из цилиндра над полукубической параболой, лежащего в трехмерном пространстве, при отображении складывания общего положения трехмерного пространства в трехмерное. Сложенный зонтик появляется также в качестве одной из компонент границы многообразия фундаментальных систем решений скалярных линейных уравнений (М. Э. Казарян, 1985). [c.183]

Пример 3. В 3-пространстве рассмотрим типичную поверхность с обычным ребром возврата. Рассмотрим типичное отображение складывания этого 3-пространства (в подходящих координатгьх задаваемое формулами [х,у,г) >-> (х ,у,г)). Образ поверхности имеет особенности типа сложенный зонтик в точках пересечения ребра возврата с поверхностью складки. Этот пример вместе с топологической эквивалентностью сложенного зонтика и зонтика Уитни и дали название сложенный зонтик . [c.155]

Для динамических систем размерности, большей трех, отображение (1.1) гл. 2 дает другой пример неограниченного вытягивания и укладки. Характерной его особенностью является укладка без складываний, которая требует для точечного отображения размерности не меньше трех, а для соответствующей динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями,— не меньше четырех. Уже этот факт говорит о возможностл существенного отличия четырехмерных систем от трехмерных, а не только трехмерных от двумерных. Насколько реально такое различие, в настоящее время сказать трудно в силу очень малой изученности четырехмерных систем. Отметим тут же, что в четырехмерных системах, как будет видно из дальнейшего, возможны бифуркации, которых нет в трехмерных систе1мах. Весьма правдоподобно, что отличие четырехмерных систем от трехмерных скорее всего окажется весьма значительным. [c.76]

Рис. 1.20. Преобразование прямоугольной области начальных условий под действием системы разностных уравнений второго порядка, называемой отображением Энона (1.3.8), состоящее в вытягивании, сжатии и складывании, которые приводят к хаотическому поведению (а = 1,4, /3 = 0,3).

В случае отображения типа подковы (см. также гл. 1) основное внимание сосредоточивается на множестве начальных условий для траекторий, заполняющем некоторый щар в фазовом пространстве. Если система ведет себя как отображение типа подковы, то этот начальный объем в фазовом пространстве под действием динамики системы принимает новую форму первоначальный шар вытягивается и складывается (рис. 3.13). После многих итераций эти складывания и растяжения порождают фракталоподобную структуру, и точная информация о начальных условиях траектории утрачивается. Для установления соответствия между начальным и последующим состояниями системы требуется все большая точность. При конечной точности постановки задачи (в большинстве случаев речь идет о численных или лабораторных экспериментах) предсказание становится невозможным. [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...