Мультипликаторы замкнутой траектории

Есть еще два резонансных случая, которые проявляются уже в квадратичных членах гамильтониана. Это случаи, когда мультипликаторы замкнутой траектории равны —1 или 1. [c.284]

Модули. В [183] было обнаружено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов с одинаковым геометрическим расположением устойчивых и неустойчивых многообразий влечет за собой условия типа равенства на мультипликаторы периодических траекторий. Точнее, пусть f / )—диффеоморфизм замкнутого многообразия с гиперболическими неподвижными точками р, q (р, q ) типа седло. Пусть Xi(Xi)—наибольшее по модулю собственное значение Df p) Df (p )) из всех собственных значений, меньших по модулю единицы, а V 2( Y2) — наименьшее по модулю собственное значение D/( ) (D/ ( 0) из всех собственных значений, больших по модулю единицы. Предположим, что 2( 2) имеет кратность 1. Тогда [162] [c.140]

Если записать уравнения гидродинамики, линеаризированные относительно периодического решения o t) с периодом Т1, символически в виде (Зо)7<5 = 7 /0), где Г/ — ограниченный линейный оператор, непрерывно и периодически с периодом Т1 зависящий от то для всякого возмущения о) ( ) периодического решения со (/+Т1) = /(т1)о) (/), где и г1)—линейный и ограниченный так называемый оператор монодромии. Его собственные значения Pn(Re) называются мультипликаторами один из них, тривиальный, равен единице и дальше учитываться не будет. Если все Рп < 1, то все возмущения при каждом обходе замкнутой траектории уменьшаются, так что периодическое движение устойчиво [c.98]

Морса — Смейла неравенства 197 Морса — Смейла система (поток, каскад, д иффеоморфизм) 189 Мультипликаторы замкнутой траектории 174 [c.241]

Рассмотрим теперь случай гамильтоновых систем. Пусть 7 — замкнутая траектория автономной гамильтоновой систем с гамильтонианом Я. Так как dH О в точках 7, то, по теореме 1, один из мультипликаторов обязательно равен единице. Поэтому периодические решения гамильтоновых систем вырождены в смысле определения п. 1. Предположим, что периодическая траектория 7 лежит на энергетической поверхности S = Н = onst , и лишь один из ее мультипликаторов равен единице. Нетрудно показать, что 7, рассматриваемая как периодическая траектория гамильтоновой динамической системы на 17, невырождена. В этом случае 7 естественно назвать изоэнергетически невырожденной периодической траекторией. [c.224]

Так, с ростом Re может быть достигнуто новое критическое значение Re2 r, при котором пара мультипликаторов примет значения ехр ( /а) (где афО, я, я/2, 2я/3, чтобы исключить резонансы). Тогда произойдет вторая нормальная бифуркация Хопфа периодическое течение Uo(x)-fUi(x, t) станет неустойчивым относительно какого-то из возмущений вида fi(x, t)y где fi — периодическая по времени функция с периодом 2я/а, а собственное значение X имеет мнимую часть 1о2. При небольших Re—R2 r это возмущение будет возрастать со временем до конечного предела — квазипериодического движения с двумя периодами 2n/Oi и 2л/о2 и двумя степенями свободы (фазами колебаний). Таким образом, из замкнутой траектории образуется траектория на двумерном торе (рис. 2.10 6). Если затем произойдет следующая нормальная бифуркация Хопфа, то образуется траектория на трехмерном торе, и т. д. [c.99]

Индекс Морса (морсовский индекс). Индекс Морса (М. Morse) определяется для гиперболической периодической траектории (включая положение равновесия) как размерность dim (L). В случае каскада точкам x L приписывается тот же индекс, что и L. (У некоторых авторов индекс Морса замкнутой траектории на 1 меньше, чем здесь.) Будем обозначать индекс Морса через и, и х), u L). Для положения равновесия потока или периодической траектории каскада индекс равен числу соответствующих собственных значений Л с КеЛ>0 при 1Я >1 для замкнутой траектории потока — увеличенному на 1 числу мультипликаторов Л с Я1>1. Хотя формулировки в терминах Л определяют некоторое число и в негиперболическом случае, оно нам не понадобится. [c.177]

Предположим для простоты, что преобразование монодромии цикла L (как функция от начальных условий и параметра) может быть продолжено в окрестность пгргсечения плоскости, транс-версальной к полю, и объединения гомоклинических траекторий цикла. На этой плоскости циклу соответствует неподвижная точка Q диффеоморфизма /о. соответствующего полю Vq. Один мультипликатор этой неподвижной точки разен 1, остальные по модулю меньше 1. Объединение гомоклинических траекторий высекает на трансверсали кривую Sq, которая становится замкнутой при добавлении точки Q (рис. 42). Сильно устойчизое слоение, соответствующее полю г)о, высекает на трангверсаля сильно устойчивое слоение Fq диффеоморфизма /о кризая Sq касается некоторых слоев этого слоения. [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...