Уравнения движения системы точечных вихрей на сфере

Уравнения движения системы точечных вихрей на сфере [c.355]

Уравнения движения и первые интегралы. Таким образом, динамика N точечных вихрей на сфере описывается системой уравнений [c.38]

Движение системы п точечных вихрей на сфере описывается уравнениями [2] [c.355]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Вихревое течение жидкости по сфере впервые рассматривалось русским гидромехаником И. С. Громекой в [6], где он получил необходимое условие для движения вихрей, согласно которому сумма их интенсивностей должна равняться нулю. Современное исследование этой проблемы содержится в работах В. А. Богомолова [2, 3], где введено понятие о точечных особенностях (вихрях, источниках и стоках) на сфере, получены уравнения динамики системы точечных вихрей и интегралы движения, аналогичные [c.376]

Заметим, что хотя приведенное доказательство аналогично доказательству Зиглина [9], однако неинтегрируемость задачи о движении четырех точечных вихрей на сфере не является тривиальным результатом, поскольку из неинтегрируемости системы уравнений для плоского случая непосредственно не следует неинтегрируемость уравнений движения вихрей на сфере. Отметим здесь так же следующий результат можно написать уравнения, подобные уравнениям (2.1), которые описывают движение точечных вихрей в пространстве Лобачевского, имеющем отрицательную кривизну тогда аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что и в этом случае движение четырех вихрей будет неинтегрируемым . [c.383]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...