Топологическая тождественность разбиений на траектории

После этих предварительных общих замечаний перейдем к подробному доказательству основной теоремы. Отметим прежде всего, что топологическая тождественность разбиения на траектории соответствующих друг другу по схеме канонических окрестностей доказана в теореме 72, а топологическая тождественность областей типа Наш и Sa , оо и после элементарного проведения вспомогательных дуг (в случае областей Еаю этими дугами являются дуги траекторий, соединяющие циклы без контакта, а в случае Zoo эти дуги являются дугами без контакта, соединяющими граничные замкнутые кривые, существующие в силу леммы 7 19) сводится к лемме 8 18 (о топологической тождественности разбиений элементарных четырехугольников). [c.490]

В заключение скажем еще несколько слов о фундаментальном понятии, лежащем в основе качественного рассмотрения двумерных систем,— о классификации с точки зрения топологической тождественности разбиения на траектории в случае многомерных систем этот подход также требует пересмотра и модификации. Однако на этих важных и тонких вопросах мы здесь не имеем возможности останавливаться и отсылаем читателя к специальной литературе (см. [63 ]). [c.475]

Таким образом, в случае, когда система (Л) грубая, разбиение на траектории области О у всякой измененной системы (Л), правые части которой вместе с их частными производными достаточно близки к правым частям системы (6.5), топологически тождественно разбиению на траектории, заданному системой (Л), и, кроме того, мало сдвинуто (меньше чем на г) по отношению к разбиению на траектории, заданному системой (Л) (при этом е О может быть взято сколь угодно малым). В частности, например, очевидно, что при достаточно малом г О ) и надлежащем 8 0 в е-окрестности каждого состояния равновесия системы (Л) будет лежать одно и только [c.430]

Основная теорема 76. Для того чтобы топологические структуры разбиения на траектории динамических систем В и В в замкнутых областях С и С были тождественны, необходимо и достаточно, чтобы схемы этих систем были тождественны. [c.497]

Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории 2). [c.38]

Мы можем теперь перейти к уточнению понятия качественной картины фазовых траекторий или топологической структуры разбиения на траектории. Две топологические структуры разбиения фазовой плоскости на траектории, заданные двумя системами вида (6.1), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении). Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории. Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что то же самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше. [c.412]

О п р е д с л е и и с V. Мы будем говорить, что разбиения на траектории, определенные двумя динамическими системами (А,) и (Аг), имеют соответственно в областях G и Со одинаковую пли тождественную топологическую или качественную) структуру, если существует отображение Т области С на область Ст1, удовлетворяющее следующим требованиям. [c.125]

Теорема 9. Если разбиения на траектории, заданные двумя динамическими системами в ограниченной области С, тождественны, т. е. существует топологическое отображение области в себя, при котором траектории этих систем отображаются друг в друга, то орбитно-устойчивые полутраектории отображаются в орбитно-устойчивые, а орбитно-неустойчивые — в орбитно-неустойчивые. [c.52]

Теорема 75. Если схемы двух динамических систем /) и J), рассматриваемых соответственно в замкнутых областях G и G , тождественны с сохранением ориентации и направления по t, то топологические структуры разбиений областей G и G соответственно на траектории систем D и D тождественны с сохранением ориентации и направления по t. [c.495]

Мы скажем, что разбиение замкнутой области на траектории системы А) г-тождественно разбиению замкнутой области на траектории системы (Л ), если существует топологическое отображение на Gf, переводящее траектории системы (Л) и траектории системы (Л) друг в друга, при котором соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии меньшем е. [c.430]

Из доказанных теорем I и II, очевидно, следует, что у грубой системы возможны только простые состояния равновесия типа 1), 2) и 3). Эти состояния равновесия — грубые в том смысле, что разбиения некоторой достаточно малой окрестности такого состояния равновесия на траектории исходной системы (Л) и на траектории всякой достаточно близкой к ней системы (Л) топологически тождественны и мало сдвинуты одно по отношению к другому. В частности, когда состояние равновесия О системы (Л) — седло, состояние равновесия О системы (Л) — тоже седло и сепаратрисы седла О мало сдвинуты по сравнению с сепаратрисами седла О системы (Л) ). [c.441]

Для иллюстрации понятия тождественности топологической структуры разбиения на траектории приведем простые, в основном геометрические, нрнмеры. Рассмотрим разбиение круга С радиуса единицы на траектории системы (40) примера 3 и системы (45) примера 4 1 (рис. 10 и 13). Начало координат является у системы (40) состоянием равновесия типа [c.129]

Теорема 72. Если локальная схема двух со (а или 0)-предельных континуумов и Кдвух динамических систем различных или совпадающих) тождественна, то топологическая структура разбиения на траектории всяких двух замкнутых канонических окрестностей этих континуумов тюждестеенна. [c.426]

В настоящей главе вводится понятие полной схемы динамической системы, имеющей конечное число особых траекторий. В полную схему динамической системы как составные части входят полные схемы состояний равновесия и предельных континуумов. Полная схема дает исчерпывающее описание взаимного расположения особых элементов и полностью определяет топологическую структуру разбиения на траектории. Осиов-ной теоремой настоящей главы является следующая теорема если схема двух динамических систем В п В, рассматриваемая соответственно в замкнутых областях (т и О , тождественна с сохрансиием ориентации. и направления по 1, то топологические структуры разбиения областей С и С соответственно на траектории систем В п В тождествецны. Доказательство этой теоремы заключается в фактическом построении отождествляющего отображения, т. е. топологического отображения области С в С , при котором траектории систем В и В отображаются друг в друга. [c.453]

Лемма 5. Если схемы систем D и D тождественны с сохранением ориентации и направления по t и области Паь и Oa-b соответствуют друг другу по схеме, то разбиения на траектории этих об.тстсй топологически тождественны с сохранением ориентации и направления по t. [c.490]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...