ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Уравнения Эйлера — Пуанкаре на алгебрах Ли из "Симметрии,топология и резонансы в гамильтоновой механике " В обстоятельной монографии Ф. Гриффитса [45] изложена геометрия гамильтонова формализма общей вариационной проблемы Лагранжа и решен ряд конкретных вариационных задач (однако автор неверно полагает, что при этом он решил некоторые задачи неголономной механики). [c.27] Они отмечены Н. Г. Четаевым [187]. [c.27] Представленные в переменных о , они являются уравнениями на алгебре д группы С, а в переменных т—на двойственном линейном пространстве д. [c.28] Здесь и) — вектор угловой скорости тела, I = / у — тензор инерции. Это наблюдение принадлежит Пуанкаре [227]. [c.28] Фазовый портрет функции Я изображен на рис. 1. Отождествляя в полосе Ь с точки, /-координаты кото- рых отличаются на 2тг, а также точки каждой из прямых Ь = -с и Ь = с, получим сферу Мс с хорошо известной картиной полодий Пуансо. Можно показать также, что симплектическая структура (2.9) в переменных Ь, I равна именно Ь Л 1. [c.30] Пусть / IR = .г — IR — неотрицательная суммируемая функция. Мера dfi = f z)d z называется абсолютно непрерывной, если для каждой измеримой области D С IR с положительной лебеговой мерой значение интеграла mes(D) = f f d z положительно. Пусть Z = v(z) — динамическая система ид — ее фазовый поток. Мера d i называется инвариантной мерой этой динамической системы, если mes g D)) = mes(D) для любой измеримой области D и для всех значений времени t. Если / — положительная функция класса то инвариантная мера называется интегральным инвариантом. [c.31] Следуя [98], рассмотрим задачу о наличии у системы уравнений Эйлера — Пуанкаре (2.3) инвариантной меры на алгебре д = w . [c.31] Теорема 1. Уравнения Эйлера — Пуанкаре имеют интегральный инвариант в том и только том случае, когда группа G унимодулярна. [c.31] Предложение 1. Система дифференциальных уравнений с однородными правыми частями имеет интегральный инва,-риант в том и только том случае, когда ее фазовый поток сохраняет стандартную меру При этом плотность интегрального инва,-рианта функция /) является ее первым интегралом. [c.31] В случае малой размерности д можно дать более точную -ян-формацию об инвариантных мерах системы (2.3). Если п = 2 и алгебра д неабелева, то уравнения (2.3) не имеют инвариантной меры с суммируемой (а не только гладкой) плотностью. [c.32] Предложение 2. В случае (г) уравнения Эйлера — Пуанкаре имеют интегральный инвариант, в случае (б) нет интегрального инварианта, однако имеется инвариантная мера с плотностью любой конечной гладкости, в случаях (а) и (в) нет инвариантной меры с суммируемой плотностью. [c.32] Вернуться к основной статье