Линии геодезические стационарной длины оЗО

Это заключение будет особенно наглядным в случае одной материальной точки, удерживаемой на некоторой поверхности а и движущейся без трения при отсутствии активных сил. В этом случае, как было уже отмечено в предыдущем пункте, метрическое многообразие будет тождественно с поверхностью о, на которой удерживается точка, а динамическая траектория совпадает с кривой, действительно пробегаемой точкой на поверхности о. На основании соображений п. 44 гл. II динамические траектории движения точки по инерции, названные геодезическими линиями поверхности, определяются тем дифференциальным свойством, что соприкасающаяся плоскость в каждой точке траектории нормальна к поверхности о. К тому, что было известно ранее, мы можем теперь добавить, что геодезические линии обладают интегральным свойством, характеризующим их и заключающимся в том, что всякая дуга геодезической линии имеет стационарную, а для достаточно близких концов — минимальную длину по сравнению со всеми кривыми, которые можно провести на поверхности между теми же концами. [c.414]

Таким образом, геодезическая линия характеризуется тем, что длина дуга этой кривой имеет экстремальное (точнее, стационарное) значение по сравнению с дугами других кривых, имеющими с геодезической одна и те же концы ) (см. рис. 35 на стр. 131). [c.135]

Величину [ЛВ] обычно называют оптической длиной. Докажем теперь, что кривые, для которых величина [ЛВ стационарна при фиксированных точках Л и Ву или (что эквивалентно) геодезические линии рассматриваемого пространства совпадают со всеми возможными решениями уравнения (2.4.6), т. е. со всеми возможными лучами. Если через Л и В (сопряженные точки) проходит большее число лучей, то в большинстве случаев эти лучи имеют одинаковую оптическую длину [ЛВ у так что мы можем определить функцию К(Л, В)у совпадающую с оптической длиной лучей. Эту функцию называют точечной характеристикой среды, и ее свойства мы рассмотрим более подробно в разд. 2.15. [c.122]

Сравнивая (9.130) с (9.118), видим, что с помощью параллельного переноса вдоль геодезической получаются различные векторы UK Этим свойством геодезические линии напоминают прямые линии в евклидовом пространстве. Таким образом, геодезическая линия, соединяющая две точки, является не только линией со стационарным значением длины, но и наипрямейшей линией. Поэтому норма вектора i/ не изменяться вдоль геодезической, т. е. gut U не зависит от А. в соответствии с (8.31). [c.231]

Аналогично мы поступаем в геометрии — средством определения объекта может явиться задание его дифференциальных свойств, описываемых соответствующими дифференциальными уравнениями, а может служить и некоторое вариационное требование. Так, геодезическая линия определяется как кривая на поверхности, главная нормаль в точках которой сонаправлена с нормалью поверхности и это немедленно приводит к записи дифференциальных уравнений геодезических линий но последнюю можно полностью определить как кривую, дающую кратчайшее расстояние между двумя достаточно близкими точками на поверхности. Требование, чтобы интеграл, определяющий длину линии на поверхности, имел стационарное значение, является гариационной формулировкой задачи о геодезических. [c.642]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...