Уравнения укороченные Ван-дер-Поля

Эти уравнения называются укороченными или уравнениями Ван-дер-Поля. Из уравнений (5.13) получается, что [c.123]

При исследованиях системы (156) приближенным методом Ван-дер-Поля сначала рассматриваются упрощенные укороченные уравнения, которые обладают замечательным свойством аппроксимировать решения исходных уравнений с заданной степенью точности, и учитывать специфику нелинейных систем. [c.206]

Рассмотрим вывод таких укороченных нелинейных уравнений и метод Ван-дер-Поля. При изложении последнего весь процесс выведения укороченных уравнений удобно представить в несколько этапов. [c.206]

Система (163) по существу и является укороченными уравнениями Ван-дер-Поля. Однако с целью упрощения она обычно несколько преобразовывается. Во-первых, преобразовывается выражение [c.208]

После этого укороченные уравнения Ван-дер-Поля принимают вид [c.208]

Преимущества укороченных уравнений Ван-дер-Пол следующие [c.209]

В случае собственных колебаний R = 0 укороченные уравнения Ван-дер-Поля берутся в квадратурах. [c.209]

Укороченные уравнения Ван дер Поля для переходных процессов при этом могут быть [c.113]

Уравнения (21.52) называются укороченными уравнениями ИЛИ уравнениями ван-дер-Поля. [c.536]

Используя метод Ван-дер-Поля, получаем укороченные уравнения для амплитуды и фазы [c.285]

Чтобы исследовать систему уравнений (9.2) при достаточно малых значениях параметра л, можно воспользоваться следуюш,им приближенным методом исследования нелинейных систем, который будем называть методом медленно меняющихся амплитуд или методом Ван-дер-Поля [186, 187, 190, 35, 36]. Именно, вместо уравнений (9.2) можно рассматривать другие, составленные по определенному рецепту, вспомогательные, так называемые укороченные уравнения Ван-дер-Поля, которые позволяют сравнительно просто получить приближенные решения исходных уравнений (тем более точные, чем меньше значение параметра л). В частности, задача отыскания периодических решений уравнений (9.2) (задача отыскания предельных циклов на фазовой плоскости лг, у) сводится к несравненно более простой задаче нахождения состояний равновесия укороченных уравнений. Следует отметить, что метод Ван-дер-Поля является адекватным методом исследования нелинейных систем, в том смысле, что этот метод учитывает специфику нелинейных систем, их характерные черты, так как укороченные уравнения, так же как и исходные уравнения, являются нелинейными. [c.653]

Для вывода укороченных уравнений в полярных координатах сделаем в исходных уравнениях (9.2) замену переменных лг, у на полярные переменные Ван-дер-Поля К, согласно (9.5) ) [c.656]

Проведем исследование системы укороченных уравнений и построение их фазовых траекторий на плоскости переменных Ван-дер-Поля. [c.657]

Можно доказать (и в этом, вообще говоря, и заключается обоснование метода Ван-дер-Поля), что то разбиение фазовой плоскости X, у на траектории, которое мы только что получили с помощью решений укороченных уравнений, аппроксимирует при достаточно ма. лых (А картину фазовых траекторий исходной системы уравнений [c.662]

Согласно методу Ван-дер-Поля, частота периодических колебаний равна (о= 1 + ц Р(у4), гае - амплитуда колебаний, а цЧ (у4) — правая часть второго уравнения укороченной системы (см. гл.8) [c.375]

Обоснование метода Ван-дер-Поля для процессов установления [90, 1491. Для доказательства последнего утверждения, приведенного в конце предыдуодего параграфа, относительно аппроксимирующих свойств выражения (9.9), полученного с помощью решения укороченных уравнений, нам, очевидно, достаточно доказать следующее предложение [c.663]

Л. И. Мандельштаму и Н. Д. Папалекси принадлежит первое обоснование утверждения, что решения уравнения (13.43) и укороченных уравнений Ван-дер-Поля (13.45) при одних и тех же начальных условиях сколь угодно мало отличаются друг от друга на протяжении достаточно большого заданного промежутка времени, если ц достаточно мало. Изложение этого обоснования приведено в книге А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина [2], [c.551]

Согласно сказанному вьш1е метод Ван-дер-Поля состоит в переходе исходных уравнений (8.9) [или (8.5)], записанных в стандартной форм к укороченным (усредненным) уравнениям (8.10) [или (8.7)]. Укороченнь уравнения (8.7) весьма просты - с разделяющимися переменными. Состо ниям равновесия укороченных уравнений отвечают предельные Щ1клы и ходной системы (8.1). Правомерность перехода к укороченным уравнени математически обоснована. Именно [c.180]

Исследуем динамику маятника Фроуда методом Ван-дер-Поля. С целью для уравнения (8.18) определим правые части укороченной систе т.е. определим функции Ф(А) и Ч (А) в соответствии с формулами (8. С учетом, что в данном случае [c.184]

Метод Ван-дер-Поля позволяет не тЪлько находить периодические движения, но и определять процесс установления колебаний. Рассмотрим этот вопрос на примере маятника оуда. Укороченные уравнения имеют вид [c.187]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...