Теорема о спецификации

Теорема 18.3.9 (теорема о спецификации). Пусть Л — топологически перемешивающее компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /. Тогда /[д обладает свойством спецификации. [c.580]

Чтобы показать, что приближающая орбита может быть сделана периодической, мы будем считать, что /3 min e/2 , е, 25 /2, где число С вводится так же, как в лемме Аносова о замыкании (теорема 6.4.15), и выберем соответствующее число М так же, как и прежде. Если q М + L(S) — наш период, замкнем 5 путем перехода к спецификации S = (т, Р ), где т = т и а, + д и =Р, Р (а -Ь д) = Р(а,), которая, очевидно, [c.581]

Теорема 18.3.12. Пусть А — топологически транзитивное компактное локально максимальное гиперболическое множество диффеоморфизма /. Тогда существует такое N eN, что для любого е >0 и каждой конечной совокупности С отрезков орбит / существует М-разделенная спецификация S, параметризующая С, разделение которой зависит только от е и которая е-приближается точкой из А и е-приближается орбитами периода qN для всех g (М L(S))/N. [c.581]

Различие между заключением этой теоремы и свойством спецификации состоит в том, что здесь мы не имеем полной свободы в выборе спецификации, так как периодичность перестановки перемешивающих компонент может позволить переходы лишь в определенные моменты. [c.581]

Оставшаяся часть этого параграфа посвящена дальнейшему анализу поведения скоростей роста числа отделенных множеств и периодических орбит для таких отображений, как рассмотренные выше, что приводит в конечном счете к усиленному варианту теоремы 18.5.1. Как и ранее, будем использовать только разделение и свойство спецификации. [c.585]

Теорема 18.5.5. Пусть X — компактное метрическое пространство и f X X — разделяющий гомеоморфизм со свойством спецификации. Тогда существуют такие с,, j > О, что для neN выполнено неравенство [c.587]

Спектральное разложение (теорема 18.3.1), свойство спецификации (теорема 18.3.9), следствие 6.4.10 и второе утверждение предложения 3.1.7 позволяют нам применить только что доказанное предложение и, таким образом, получить (18.5.1) (для всех п 6 N) для / = л. где Л — локально максимальное топологически перемешивающее гиперболическое множество диффеоморфизма F или, более общим образом, локально максимальное гиперболическое множество, все топологически транзитивные компоненты которого являются топологически перемешивающими. Для произвольного локально максимального множества можно найти такое число N, что отображение обладает последним свойством (из теоремы 18.3.1). Тогда, принимая во внимание третье утверждение предложения 3.1.7, легко видеть, что соотношение (18.5.1) выполнено для такого множества Л при всех neN, кратных N. Таким образом, мы доказали следующее утверждение. [c.587]

Теорема 18.5.7. Пусть X — компактное метрическое пространство и ip— разделяющий поток со свойством спецификации. Тогда существуют такие константы с,, j > О, что для i > О выполнены неравенства [c.587]

Докажите теорему о спецификации 18.3.9 с помощью теоремы 18.7.4. [c.598]

В этой главе мы доказываем некоторые из центральных результатов эргодической теории гиперболических динамических систем. Существуют два специальных вида инвариантных мер для гладких динамических систем меры с максимальной энтропией и гладкие меры. Мы покажем, что для гиперболических систем эти меры являются частными случаями равновесных состояний, представляющих собой аналог мер Гиббса в статистической механике. Первые четыре параграфа этой главы посвящены анализу равновесных состояний, который завершает в данной книге тему, начатую в гл. 18 и 19, причем особое внимание уделяется вышеупомянутым специальным мерам. В качестве двух основных инструментов этого анализа используются спецификация и теорема Лившица. [c.616]

Вариационный принцип (теорема 4.5.3) говорит нам, что топологическая энтропия равна верхней грани метрических энтропий. Мы знаем также, что для разделяющих отображений эта верхняя грань достигается (теорема 4.5.4). Таким образом, естественно попытаться исследовать эти специальные меры, энтропия которых максимальна. Для линейного растягивающего отображения окр ности и топологического сдвига Бернулли меры максимальной энтропии определялись очевидным образом, а для гиперболических автоморфизмов тора мы установили, что мера Лебега обладает максимальной энтропией (4.4.7). В предложении 4.4.2 мы показали, что специальная марковская мера /X[j, так называемая мера Перри, обладает максимальной энтропией для любой топологической цепи Маркова. Кроме того, упражнение 4.4.2 позволяет утверждать, что эту меру можно рассматривать как предельное распределение периодических орбит. То же, очевидно, верно для меры Лебега в случае линейного растягивающего отображения. Теперь мы покажем, что при наличии свойства спецификации [c.616]

Доказательство. Согласно теореме 18.3.3 Л представляет собой объединение непересекающихся замкнутых подмножеств Л, и... иЛ и эти подмножества циклически переставляются отображением /, причем / — топологическое перемешивание на множествах Л . Теорема о спецификации 18.3.9 и следствие 6.4.10 позволяют нам применить теорему 20.1.3 к отображению для каждого г. Очевидно, однозначно определенные меры максимальной энтропии для / переставляются отображением /, а их усреднение /-инвариантно. Обратно, если д — /-инвариантная мера, обладающая максимальной энтропией, то условная мера на любой топологически перемешивающей компоненте / — однозначно определенная мера максимальной энтропии. [c.621]

Теорема Пойа. Пусть V = а, р, у, — множество красок, 1 2—множество объектов, подлежащих раскрашиванию, и О—заданная группа подстановок на 1 2. Тогда число различных способов раскрашивания заданной спецификации (2.1) равно коэффициенту при одночлене (2.1) в многочлене [c.36]

Чтобы найти число способов раскрашивания данной спецификации, будем смотреть на (2.37) как на одночлен, состоящий из формальных переменных 0, е, т, Фь ф2, . фа-2, возведенных соответственно в степени М0, Ие, Ux, uu U2,. .., 0-2- Тогда согласно теореме Пойа это число равно коэффициенту при выражении вида (2.13) в многочлене [c.65]

Согласно теореме Пойа для того чтобы найти число режимов, имеющих спецификацию (2.37), достаточно положить [c.66]

Предложени51 3.6 — 3.8, а также свойство спецификации (см, стр. 231) На базисном множестве Й , на котором Л-диффеоморфизм I является перемешивающим, вытекают из теоремы Аносова о семействах е траек-торий (см. [20] и [211). [c.75]

С учетом этих результатов теперь совсем нетрудно получить уточнение асимптотики из теоремы 18.5.1. В доказательствах предложения 3.2.14 и теоремы 18.5.1 было показано, что в силу разделения и спецификации [c.587]

Аносова о замыкании (теорема 6.4.15) и теорема о спецификации 18.3.9 представляют собой сильные утверждения о плотности, тогда как теоремы 18.5.1 и 18.5.6 показывают, что скорость роста числа периодических орбит отражает полную динамическую сложность гиперболического множества. В этом пункте мы покажем, что решения когомологических уравнений с гёльдеровыми данными на гиперболическом множестве полностью определяются данными на периодических орбитах. Это дает новый метод нахождения решений когомологических уравнений и доказательства их регулярности в дополнение к двум методам решения неподкрученных когомологических уравнений, предложенным в 2.9 (см. также конструкцию патологических кограниц из 12.6). Метод состоит в том, чтобы попросту [c.611]

Лемма 20.1.1. Пусть [X, d) — компактное метрическое пространство, f X— X— разделяющий гомеоморфизм со свойством спецификации, >0, мера ц определяется из (20.1.1), — из определения 18.3.8, — из предложения 18.5.4, j — из теоремы 18.5.5 и = (1/(с21Гз ))е - > 0. Для ySX и neN определим е-шар В = B (y, е, п) в метрике d[ с центром в у. Тогда [c.617]

Доказательство. Выберем г п- -2М и определим число т соотношением г = п т 2М . Предположим, что — максимальное (тп, Зе)-отделенное множество, х е Е По свойству спецификации найдется такое г(х)бР1х(/ )пВ, что d f" (z(x)), х)< е. В силу нашего выбора Е отображение z(-) инъективно на множестве Е и Е максимально, так что по предложению 18.5.4 и теореме 18.5.5 мы получаем [c.617]

Теорема 20.1.3 (Боуэн). Пусть X, <1) —компактное метрическое пространство и / X X — разделяющий гомеоморфизм, удовлетворяющий свойству спецификации. Тогда существует в точности одна тлкая мера ц е ЯП(/), что 0) = Она называется мерой Боуэна [c.619]

Теорема 20.3.7 (Боуэн). Пусть (X, d) — компактное метрическое пространство, / X —— разделяющий гомеоморфизм со свойством спецификации треС (X). Тогда существует единственная такая мера = д е ЯЛ(/), что ip) = Р(/, ip). Она является перемешивающей, и [c.635]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...