Доказательство утверждения а теоремы З.1.1. построение

Доказательство. Утверждение теоремы вытекает из того, что каноническая 1-форма, симплектическая 2-форма и действие группы вещественных чисел определены самой контактной структурой (при их построении не использовались координаты или иные неинвариантные средства), а диффеоморфизм / сохраняет контактную структуру. Из этого следует, что / переводит в себя все то, что инвариантно построено по контактной структуре, в частности 1-форму а, ее производную йа и действие группы, ч. т. д. [c.327]

Первое утверждение теоремы очевидно по построению 2-формы. Доказательство второго утверждения можно провести в точности теми же рассуждениями, с помощью которых мы доказывали коммутативность фазовых потоков, для которых равна нулю скобка Пуассона полей скоростей. Можно и просто сослаться на эту коммутативность, применяя ее к интегральным кривым, возникающим над прямыми координатных направлений в горизонтальной плоскости. [c.318]

Если динамическая система, для которой выполняются условия 1), 2) и 3), является грубой, то малые изменения ее правых частей не будут менять топологической структуры ее разбиения на траектории, а будут лишь мало сдвигать все это разбиение. Но при выполнении условий 1), 2), 3), т. е. при условии, что особые траектории системы (Л) являются лишь простыми предельными циклами и сепаратрисами, не идущими из седла в седло (подробное перечисление возможных видов сепаратрис см. ниже), нетрудно показать, что при малых изменениях правых частей системы (Л) или, иначе говоря, при переходе к измененной системе (Л), особые траектории не меняют своего характера и при этом лишь мало сдвигаются. Этот факт делает утверждение теоремы совершенно наглядным геометрически. Точное доказательство теоремы состоит в фактическом построении для всякой измененной системы (Л), достаточно близкой к системе (Л), такого топологического отображения области О в себя, при котором траектории системы (Л) отображаются в траектории системы (Л) и соответствующие друг другу точки находятся на сколь угодно малом расстоянии друг от друга. [c.454]

Доказательство утверждения а теоремы 3.1.1 построение треугольной матрицы (на примере матрицы 2 x2) [c.144]

Из какого предположения мы исходили в этом примере Мы приняли предположение о правиле, по которому каждой точке отрезка поставлено в соответствие некоторое целое число. Затем нам удалось определить точку, которой не соответствует никакое число. В этом отношении приведённые выше различные доказательства теоремы не отличаются. Но прежде всего необходимо установить правило. По Ришару, такое правило, по-видимому, существует, но Кантор доказал противоположное. Можно ли найти выход из создавшейся дилеммы Проанализируем, как надлежит понимать слово определимый . Мы берём перечень всех конечных утверждений и вычёркиваем из него все утверждения, которые не определяют никакой точки. Оставшиеся утверждения мы поставим в соответствие целым числам. Если теперь мы снова просмотрим наш перечень, то в общем случае можно показать, что некоторые из ранее вычеркнутых утверждений придётся оставить. Действительно, утверждения, в которых шла речь о правиле соответствия, ранее не имели значения, так как точки не были поставлены в соответствие целым числам. Теперь же эти утверждения обрели значение и поэтому должны оставаться в нашем списке. Если бы мы изменили правило, по которому устанавливается соответствие между точками и целыми числами, то та же самая трудность повторилась бы, и так до бесконечности. Но именно в этом и заключается разрешение кажущегося противоречия между Ришаром и Кантором. Пусть Мд — множество целых чисел, М — множество точек нашего отрезка, определяемых всеми конечными утверждениями, сохранившимися в нашем перечне после первого вычёркивания, — правило, устанавливающее соответствие между Мо и М[. Правило порождает новое множество определимых точек М2. Но множеству М + М2 соответствует новое правило ( 2, которое, в свою очередь, порождает новое множество М3 и т. д. Доказательство Ришара учит нас, что там, где я оборву применение нашего построения, всегда существует некоторое правило соответствия, тогда как Кантор доказывает, что наше построение можно продолжать сколь угодно долго. Таким образом, между доказательствами Ришара и Кантора никакого противоречия не возникает. [c.212]

Необходимость условий теоремы сразу следует из структуры приведенных матриц (1.6) или (1.7). Так как сумма и произведение таких матриц также являются матрицами аналогичной структуры, то линейно независимых элементов в алгебре й будет меньше п . Для доказательства достаточности потребуется ряд вспомогательных определений и утверждений из теории конечномерных ассоциативных алгебр. Метод доказательства будет состоять, по существу, в указании алгоритма построения приводящей матрицы 5. [c.47]

При построении наборов частных решений, необходимых для удовлетворения граничных условий в конкретных задачах, условие (1.18) иногда удобно заменить другим [96]. Однако равенство (1.18) широко используется при доказательстве полноты представления (1.15). Если U — решение уравнения (1.6) в области В, то существуют функции ф и а, удовлетворяющие уравнениям (1.15), (1.16) и условию 1.18). Строгое доказательство этого важного утверждения содержится в работах [104, 186, 269]. Теорема о полноте решения Грина —Ламе впервые была сформулирована Клебшем (1863). Определенную роль в построении четкого доказательства теоремы [c.20]

Доказательство. В сторону только тогда утверждение было доказано в п. 2.1 а. Чтобы доказать обратное, рассмотрим функцию j = og J f)oh. Поскольку и log(J /), и h—гёльдеровы функции (по следствию 19.1.13 и теореме 19.1.2), такова же и функция Из предположения о равенстве собственных значений следует, что суммы по периодическим орбитам функций и log равны, и, следовательно, по предложению 20.3.9 равны соответствующие равновесные состояния. По теореме 20.4.1 равновесное состояние для — гладкая мера, т. е. площадь. Заметим теперь, что равновесные состояния по построению инвариантны относительно гёльдерового гомеоморфизма, т. е. равновесное состояние для V a (которое, как мы только что установили, есть площадь) равно переносу равновесного состояния для = log J / h. Это значит, что отображение h соманяет площадь. [c.641]

Доказательство теоремы 3.1.1 разбито на ряд этапов. Им посвящены разд. 3.2—3,5 и 3.7. (В разд. 3,6 мы излагаем приближенные методы построения решений связанные с идеялш доказательства.) Сформулировав и доказав в разд. 3.2 несколько вспомогательных теорем (лемм), мы сначала доказываем, что матрица С приводима к треугольному виду (для случая матрицы 2x2 — в разд. 3.3, для случая матрицы т X т — в разд. 3.5). Это позволяет выбрать я (/, ф) так, чтобы при всех ф выполнялись неравенства ,. . А, . Затем мы доказываем, что элементы треугольной матрицы С можно выбрать в соответствии с утверждениями а и б теоремы 3.1.1 (для случая матрицы 2 X 2 —в разд. 3.4, для случая матрицы т X т — в разд. 3.5). Наконец, в разд. 3.7 мы доказываем утверждение в . [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...