Интегральные операторы и компактные множества непрерывных функций

Одним из фундаментальных свойств интегральных операторов К с непрерывными ограниченными ядрами является то, что они любое множество ограниченных функций преобразуют в компактные множества непрерывных функций. Подчеркивая это обстоятельство, говорят, что оператор К с непрерывным ядром на множестве ограниченных функций Ф является компактным оператором. Из приведенного свойства оператора К следует одно чрезвычайно важное обстоятельство. Исходное множество Ф независимо от того, является ли оно подмножеством пространства С / ) всех непрерывных функций, заданных на или нет, его образ 5= Р=/(5, 5 Ф есть компактное множество непрерывных функций. Поскольку само по себе пространство непрерывных функций С, заданных на любом конечном носителе, не является компактом, то преобразование, осуществляемое интегральным оператором, приводит к сужению исходного функционального пространства. Естественно, что, обращая функции 3 из компактного подмножества В В а С), мы не можем получить решение 5, которое бы принадлежало более широкому классу функций, каковым, например, является множество С. Возникающая таким образом неопределенность зачастую интерпретируется как некорректность задач, связанных с решением операторных уравнений первого рода. Не будем усложнять изложение материала имеющимися многочисленными трактовками понятия некорректности, полагая, что приведенных выше рассуждений вполне достаточно для понимания подходов к конструированию вычислительных алгоритмов обращения, которые будут описаны ниже. Формальное изложение теории некорректных задач можно найти в работах [18, 48]. [c.41]

Доказанные свойства 1) и 2) показ ают, что операторы J и D являются сглаживающими операторами, преобразующими ограниченные множества гильбертова /пространства в ограниченные семейства равностепенно н рерывных функций. Из компактности таких семейств [49, т. I, стр. 49] следует, что J и D — вполне непрерывные интегральные операторы. [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...