Леммы о простой замкнутой кривой

Леммы о простой замкнутой кривой. Приводом ооз доказательств ряд элементарных предложений (см. [57]). [c.523]

В настоящей книге предположения, считающиеся известными, указаны в дополнении. В частности, те факты и предложения, на которые непосредственно опирается доказательство лемм 3, указаны в 1—6 дополнения. Это — некоторые элементарные факты, касающиеся простых дуг, элементарные предположения о простых замкнутых кривых и свойства так называемого регулярного отображения. Доказательство этих фактов в свою очередь либо приводится в дополнении, либо может быть найдено в литературе, указанной в дополнении. [c.71]

Очевидно, все точки траектории Ь могут быть получены при изменении I в уравнениях (17) от до -Ь 9о + 0о)> где io — любое фиксированное число. Так как по самому определению 6о есть наименьшее число, при котором выполняются равенства (22), то всяким двум значениям I и 1", о + 6о> заведомо соответствуют различные точки траектории Ь. Это и означает (ср. дополнение, 5), что траектория Ь является простой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана. [c.30]

Дуга Я, целиком (кроме концов) лежащая в области g/,, делит эту область на две области, границами которых являются простые замкнутые кривые, имеющие дугу Я общей дугой. Обозначим через о и ту из этих кривых, в границу которой входит точка О, и через 4 — область, являющуюся частью области g , границей которой является кривая о и (дуга кривой Oft заведомо пе является дугой кривой а и). Принимая во внимание порядок, в котором при положительном обходе кривой проходятся точки Mf , Mf +i, M k, M h+i, О, нетрудно видеть на основании лемм п. 3 2 дополнения, что при положительном обходе кривой точки M k + i и О проходятся в следующем порядке М , M u + i, О, М, . [c.319]

В силу доказанной леммы мы имеем возможность говорить о циклическом порядке расположения вокруг точки О самих полутраекторий системы (I). Именно, мы приписываем этим полутраекториям тот циклический порядок, в котором расположены на некоторой простой замкнутой кривой С (содержащей точку О, внутри и вне которо заведомо есть точки рассматриваемых полутраекторий) последние общие точки этих полутраекторий С с кривой С. [c.320]

Простые замкнутые кривые, образованные траекториями, составляющими предельный континуум. Мы приведем ряд лемм, уточняющих сведения о структуре предельных континуумов. [c.432]

Лемма 6. Если угол между дугой 1 и к и между дугой к и 12 положителен, то в точке О дуга к при возрастании и входит внутрь простой замкнутой кривой С. [c.545]

В случае, когда L и имеют общие точки, мы, рассмотрим простую замкнутую кривую С,, состоящую из точки О и частей траекторий I и между точкой О и ближайшей их общей точкой (или частей траекторий 1 и между двумя последовательными общими точками), и, рассуждая совершенно аналогично предыдущему докажем утверждение леммы также и в этом случае. [c.453]

Вспомогательные леммы о поведении полутраектори в окрогтпости состояния равиовесия. Всюду в дальнейшем предполагается, что плоскость ориентирована, т. е. что выбрано положительное направление обхода простых замкнутых кривых (например, направление против часовой стрелки). [c.263]

Будем для единообразия обозначать через /ц дугу I, через Р — точки, дуги, которые мы выше обозначали через Р , п через С" простые замкнутые кривые, 1 оторые мьт обозначали через С . Для всех кривых т = 1, 2,. . ., г, справедливы леммы 8 и 9 15. Континуум К лежит внутри всех кривых С , т = 1, 2,. . ., г (начиная с достаточно большого /). Действительно, при достаточно больших значениях I точки полутраектории лежат внутри кривой С 1 > о), и, следовательно, при любом I > 0 существует такое /, что виток Р РР полутраектории [c.293]

В силу леммы 1 17 какую бы простую замкнутую кривую, целиком лежащую внутри окружности С (в частности, окружность с центром в точке О, радиуса, меньшего радиуса окружностн С), мы бы ни взяли, последние, общие с этой кривой точки полутраекторий Ь) расположены на этой кривой в том же циклическом порядке, как и точки Мг I — = 1, 2,. . . , Л/ ) на окружности С. Этот порядок определяет циклический порядок полутраекторий Ь) (см. лемму 1). Таким образом, мы можем выписать все полутраектории,в их циклическом порядке [c.347]

Доказательство. Для всякой траектории Ь, пересекающей дугу I в точке, достаточно близкой к точке Р и лежащей по положительную сторону траектории о (которой принадлежит точка Р), континуум К является ю-предельным с положительной стороны. Поэтому па дуге I, по положительную сторону лежит бесконечная последовательность точек траектории Ь— Pi , соответствующих неограниченно возрастающим значениям I и стремящихся к точке Р. Как и в 3, обозначим через С, простую замкнутую кривую, составленную из витка РгРг + х траектории Ь в части РгР,+1 дуги без контакта I. В силу леммы 8 15, начиная с некоторого достаточно большого I (г > /), кривые С, лежат одна внутри (вне) другой (если не считать их попарно общих точек) и содержат внутри (вне) континуум К . Предположим для определенности, что континуум К+ лежит внутри кривых С . [c.424]

Для доказательства утверждения в) обозначим область, ограниченную кривой 5i, через gj и предположим, что gi. Если какая-нибудь кривая, например S3,. тежит внутри области g2 или вне gi, то все три кривые Si, S2, S3 не могут, как нетрудно убедиться, одновременно состоять из траекторий, предельных для L. А это противоречит тому, что эти кривые входят в состав предельного континууматраектории L. Отсюда следует справедливость утверждения в). Утверждение г) является непосредственным следствием того, что (S) есть по определению совокупность всех простых замкнутых кривых континуума Kali случае, когда континуум К является О-предельным, рассуждение полностью аналогично. Таким образом, лемма доказана. [c.434]

Лемма 3. Пусть ю (а или 0)-предельный континуум К , е состав которого входит хотя бы одно состояние равновесия, яеляется одной простой замкнутой кривой 8, и пусть к одному из входящих в континуум К состоянию равновесия О стремится траектория Ь, не принадлежащая континууму К. Тогда континуум является односторонним, и при этом если траектория Ь лежит ене внутри) кривой 8, то траектории, для которых является о а, или 0)-предельным континуумом, лежат внутри вне) 8. [c.435]

Оиределение XXVHI. Мы будем говорить, что задана полная хема предельного континуума Ю если. 1) указано, с какой стороны этот континуум яеляется предельным, с положительной или отрицательной т. е. указывается, какой знак, или —, таходится в скобке в обозначении Ю 2) задана локальная схема этого континуума, т. е. указано, яеляется ли он со-, а- или О-предельным, и задается (о-перечисление входящих в него траекторий, 3) указано, на каких из простых замкнутых кривых Si, входящих в состав континуума положительное направление обхода совпадает с направлением по t, а на каких противоположно этому направлению (кривые Si определены в силу задания локальной схемы, см. замечание к лемме 1 25) 4) в случае, когда есть со- или а-предельный континуум, указаны все стремящиеся к нему особые полутраектории и их циклический порядок, причем отмечено, какие из этих полутраекторий являются угловыми и какие принадлежат орбитно неустойчивым траекториям. [c.443]

Замечание 1. Задание полной схемы определяет взаимное расположение кривых 1 , входящих в состав континуума а также расположение относительно кривых тех траекторий, для которых этот р онтинуум является со-, а- или О-предельным. В случае, когда континуум K является одной простой замкнутой кривой о — это непосредственно вытекает из определешя положительной стороны траектории и указания того, совпадает ли на кривой д направление обхода по < с направлением положительного обхода или противоположно ему в случае, когда континуум состоит из нескольких кривых 5 — это непосредственно следует из замечания к лемме 8. [c.444]

Принимая во внимание, что каноническая кривая состояния равновесия может быть циклом без контакта лишь в случае, когда состояние равновесия есть узел, а также в силу леммы 1 25 нетрудно видеть, что 1) внутренний континуум Кы является либо узлом, либо простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо составлен из нескольких простых замкнутых кривых легкащих одна вне другой (если не считать их общих точек) 2) внешний континуум К К а) либо является простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо состоит из нескольких простых замкнутых кривых и тогда одна из этих замкнутых кривых, о, содержит внутри нее остальные, лежащие одна вне другой. Если К - и К - — два сопряженных предельных континуума, то, очевидно, внутренний континуум К лежит внутри кривой о внешнего континуума К - [c.465]

Докажем еще одну лемму, касающуюся соиряжешшх свободных Ы-, а-предельных континуумов и граничных циклов без контакта, а также О-предельных континуумов. Пусть — внешний со-, а- пли 0-нредель-пьп континуум и.чи же внешний граничный цикл без контакта. Очевпдно, может быть простой замкнутой кривой, например, в с.чучао, когда [c.466]

Доказательство. Утверждение для граничной кривой Г очевидно. В самом деле, если Г есть граничная кривая, лежащая внутри "о и содержащая внутри себя, то точки области С существуют как внутри, так и вне кривой Г, что противоречит определению граничной кривой. Предположим теперь, что существует простая кривая входящая в состав какого-нибудь предельного континуума лежащая внутри кривой "ц и содержащая внутри себя. Предположим для определенности, что есть со- или а-предельный континуум, состоящий из кривой 8 и расположенных внутри нее и вне друг друга простых замкнутых кривых "а,. . . , 8р, а соответственно а- или со-предельный континуум, состоящий из расположенных вне друг друга простых замкнутых кривых "1, 5 2, -, "д. Пусть С и у и соответственно С ш у — каноническая кривая и окрестность континуума К - и Кривая 5 не может лежать внутри какой-нибудь из кривых 8, . . ., 8 р или 8г,. . . , 8д, так как тогда и континуум лежал бы внутри тако11 кривой, что, очевидно, невозможно. Кривая не может также иметь общих точек с окрестностями у и у, так как внутри этих окрестностей нет точек особых траекторий. Следовательно, кривая 5 должна быть целиком расположена в области i , ограниченной кривыми С и С. Но это невозможно (см. лемму 16 3). Аналогично доказывается утверждение леммы в случае, когда и являются соиряженными 0-нредель-ными континуумами и когда один из них или оба являются граничными циклами без контакта. Лемма доказана. [c.467]

Опуская рассуждение, с помощью которого осуществляется такое перенесение, отметим все же, что это рассуждение может быть, например, проведено, если надлежащим образом построить вспомогательные дуги, соединяющие точки различных ненересекающихся замкнутых кривых (дуги обозначены пунктиром на рис. 327), а затем использовать леммы, приведенные в п. 6 (о связи между направлениями обхода двух простых замкнутых кривых, имеющих общую дугу). [c.526]

Для этого случая доказательство теоремы 18.11 продолжается следующим образом. В силу леммы 18.15 можно выбрать такое f > О, чтобы Р биголоморфно отображало односвязное множество 7о на себя, очевидно, не имея при этом неподвижных точек. Значит, можно построить риманову фактор-поверхность 5 , отождествляя каждую точку г е 7о с Р (г). Из результатов 2 следует, что 5 является либо кольцом, либо диском с выколотой точкой. Однако диск с выколотой точкой здесь получиться не может, так как из леммы 18.17 легко следует положительность нижней грани длин путей, соединяющих г с относительно метрики Пуанкаре. Значит, является кольцом. В частности, в метрике Пуанкаре существует единственная простая замкнутая геодезическая на (Ср. задачу 2- . Наглядно эту конструкцию можно описать как резиновую ленту, намотанную на кольцо для салфетки (или на песочные часы) и сжатую в простую замкнутую кривую минимальной длины.) [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...