Моменты и семиинварианты случайных полей

Моменты и семиинварианты случайных полей [c.184]

Определение моментов и семиинвариантов случайного поля по его характеристическому функционалу [c.192]

Поскольку характеристический функционал содержит в себе полное статистическое описание случайного поля, то ясно, что он определяет также все его моменты и семиинварианты. Приведенные ниже явные формулы, связывающие моменты и семиинварианты с функционалом Ф(6), являются естественным обобщением формул (4.9) и (4.11), относящихся к конечномерному случаю. [c.192]

Оборвав разложение (4.52) на конечном числе членов, мы на этот раз придем уже к функционалу, удовлетворяющему не только условию (3.23), но и необходимому для характеристического функционала условию 1Ф[0(х)] 1. Более того, ограничившись лишь линейными и квадратичными по 0/(х) членами в правой части (4.52), мы получим функционал, наверное, являющийся характеристическим функционалом некоторого случайного поля, а именно гауссовского случайного поля с теми же моментами первых двух порядков, что и исходное поле ufx) (см. формулу (4.35)). Если, однако, мы оборвем ряд (4.52) на каком-то конечном числе членов выше второго порядка по 0/(х), то придем к функционалу, удовлетворяющему (3.23) и условию Ф[0( х)] 1, но, вообще говоря, не обладающему свойством (3.24) характеристических функционалов. Поэтому, предположив, что все семиинварианты рассматриваемого случайного поля и(х) порядка выше данного /С 4 обращаются в нуль, мы также можем в конце концов прийти к противоречию с очевидными свойствами распределений вероятности (например, с неотрицательностью вероятности, из которой следует условие (3.24). В томе 2 книги мы еще будем иметь случай вспомнить об этом неприятном обстоятельстве. [c.197]

И ЭТОЙ комбинации стремится к нулю при неограниченном удалении друг от друга любых двух точек, от которых зависит рассматриваемый момент (см. мелкий шрифт ниже). Соответствующие разности момента порядка К и специально подобранных комбинаций моментов низших порядков как раз и совпадают с теми семиинвариантами случайных величин, о которых мы говорили в п. 4.1, и поэтому называются семиинвариантами (кумулянтами). порядка К рассматриваемых гидродинамических полей. [c.188]

Для гауссовых случайных полей, все корреляционные функции В, , п>2 равны нулю, поэтому условия однородности (2.41), (2.42), накладываемые на среднее значение и парную корреляционную функцию, оказываются достаточными для однородности всех моментов (2.38). Поскольку семиинварианты третьего и высшего порядков описывают более мелкие детали случайного процесса, часто соотношения (2.41), (2.42) принимаются за определение статистической однородности в широком смысле. [c.50]

Переходя к моментам высших порядков однородных случайных полей, заметим, что во всех реальных случаях специальные комбинации этих моментов, называемые семиинвариантами, быстро стремятся к нулю при неограниченном возрастании любого йз своих аргументов и, следовательно, представимы в виде интегралов Фурье (см. часть 1, п. 4.2). Однако в случае се 1иин-вариант0в выше второго порядка точные условия, которым должны удовлетворять их преобразования Фурье, неизвестны. Тоэтому мы уже не можем сказать, какие именно функции могут являться старшими семиинвариантами (или моментами) однородного поля, а какие не могут. Тем не менее мы выпишем здесь представления в виде интегралов Фурье некоторых простых комбинаций двух- и трехточечных моментов четырехмерного однородного поля и, (л). 2 (л). %(- ). б (д ))= о(д ), (д ) с (д )= =д(д )= 0, которые нам будут полезны впоследствии [c.24]

Рассмотрим турбулентность, поле скорости которой в начальный момент времени является гауссовским (нормальным) случайным полем. Можно показать, что формальное разложение семиинвариантов порядка п- - в ряд по степеням Не начинается с члена порядка (Не)" (ср. Крейчнан (1962). Поэтому при пренебрежении ими в уравнении (19.21) с т = п для моментов порядка п получается ряд вида (19.22), члены которого вплоть до порядка (Не)" 2 будут точными для ( — 1)-х моментов получается ряд, правильный вплоть до члена порядка (Не)" . и т. д. для вторых моментов получается разложение, точное вплоть до члена порядка (Re) " . Таким образом, во всех случаях, когда отбрасывание членов порядка Не и выше приводит к хорошему приближению (т. е. при Не 1 или при очень малом небрежение семиинвариантами (ге- -1)-го порядка также должно быть допустимым. В случае же больших значений Не и — tQ пренебрежение семиинвариантами представляется все же более оправданным, чем пренебрежение высшими моментами, хотя, вообще говоря, получаемые при этом результаты иногда также могут оказаться противоречащими общим требованиям теории вероятностей (по причинам, разъясненным на стр. 200—201 части 1 книги). [c.249]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...