Математическая оценка вариационных принципов

Математическая оценка вариационных принципов. [c.19]

По-настоящему хорошей и адекватной истории развития аналитических принципов механики еще не написано. Книга Дюpингa претендующая на изложение этого вопроса, содержит мало истории по существу. Классическая книга Маха о развитии механики- в первую очередь посвящена ее физическим принципам и в меньшей мере ее аналитическому аспекту. Мах столь мало симпатизировал всему, что хоть сколько-нибудь напоминало априорное рационалистическое мышление, что он так и не смог подняться до правильной оценки аналитических методов и их роли в физических науках. Тот факт, что развитие вариационных принципов — это11 великолепной главы эволюции человеческого мышления — никогда не вызывало энтузиазма научных кругов и считалось лишь эффективным методом описания механических явлений, является результатом преобладающего влияния позитивистского типа философии в научном мышлении в течение последних пятидесяти лет. Этим объясняется отсутствие систематического исторического описания это11 ветви математической физики, в котором развитие ее прослеживалось бы вплоть до наших дней . [c.384]

Вернемся теперь к основной задаче вариационного принципа найти такую функцию из допустимого класса функций, что некоторый определенный интеграл по замкнутой области Я, зависящий от функции и ее производных, принимает максимальное или минимальное значение. Это есть обобщение элементарной теории вычисления максимумов и минимумов, которая состоит в нахождении точки замкнутой области, в которой функция имеет максимальное или минимальное значение в некоторой окрестности в этой области. Определенный интеграл в вариационном принципе есть пример функционала и зависит от всего поведения функции в целом, а не от числа переменных. Область определения функционала есть пространство допустимых функций. Главная трудность вариационного подхода состоит в том, что задачи, которые могут быть естественно сформулированы как вариационные, могут нё иметь рещений. Математически это выражается незамкну-тостью пространства допустимых функций. Поэтому в вариационном принципе нельзя предполагать существование максимума или минимума. В этой книге мы, однако, имеем дело с приближенными решениями вариационных задач. Они получаются при рассмотрении некоторого замкнутого подмножества пространства допустимых функций для получения верхней и нижней оценок точного решения вариационной задачи. [c.33]

Дан полный математический анализ краевых задач иелииейиой теории оболочек. Для всех физически осмысленных постановок доказаны теоремы разрешимости и корректности в условиях глубокой нелинейности. Приведены условия единственности решений и условия неединственности. Получили обоснование в этом круге нелинейных задач методы приближенного решения Бубнова — Галеркина, Ритца, Ньютона — Канторовича и др. Большое внимание уделено нелинейной устойчивости, в которой различаются две проблемы оценка числа решений краевой задачи и выбор наиболее реального. Подробно проанализированы возможности принципа линеаризации Эйлера, дано строгое математическое обоснование существования нижних критических чисел, развит статистический подход. Основу рассмотрений составили топологические и вариационные соображепия. [c.2]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...