Дисперсионное соотношение для вариационного принцип

При фактическом использовании данного метода возникает важный вопрос, который следует рассмотреть в общем виде. Уравнение (14.51) в его настоящем виде можно использовать для нахождения как функции Ф< , так и дисперсионного соотношения между V, к, А (ср. (14.5) и (14.7) для уравнения Клейна — Гордона). Выкладки в (14.26) показывают, что при таком использовании равенства (14.51) в (14.48) можно избежать нахождения функции ф(0) (которая с точностью до обозначений совпадает с Т) в явном виде и дисперсионное соотношение можно рассматривать как дополнительное вариационное уравнение, которое выводится из (14.47). Это намного предпочтительнее, поскольку тогда форма усредненного лагранжиана упрощается и, что более существенно, все уравнения, связывающие медленно изменяющиеся параметры х,к. А, объединены общим вариационным принципом. Как описать эту процедуру в общем виде Это именно тот вопрос, о котором шла речь выше. Задача заключается в том, чтобы из уравнения (14.51) извлечь достаточную информацию о функциональной форме ф к-ции Ф< , не используя при этом полную информацию о дисперсионном соотношении. Сейчас мы покажем, как это можно сделать. [c.478]

Прежде всего следует обсудить вопрос о том, как развить далее подтверждаемый многими примерами общий результат Стокса существование периодических волновых пакетов является типичным свойством нелинейных диспергирующих систем. Эти решения являются аналогом решений вида (1.3) в линейной теории, но теперь уже не действует принцип суперпозиции. Однако, как уже было указано в связи с формулой (1.26), многие важные результаты линейной теории основываются на использовашш групповой скорости модулированных волновых пакетов. При этом переход к интегралу Фурье несуществен, так что можно построить теорию нелинейной групповой скорости. Соответствующие рассуждения проводятся в гл. 14 на основе уже упоминавшихся вариационных принципов. Зависимость дисперсионных соотношений от амплитуды приводит к ряду новых эффектов (например, к наличию двух групповых скоростей), которые обсуждаются в общем виде в гл. 15. Кроме исходных задач о поведении волн на воде, одной из главных областей приложения теории является нелинейная оптика, новая быстро развивающаяся область. Ряд приложений к обеим областям дается в гл. 16. [c.21]

В статье дается обзор различных применений вариационных методов п теории нелинейных волн в средах с дисперсией, причем особое внимание уделяется применению этих методов для волн на воде. Сначала обсуждается вариационный принцип, соответствующий теории волн на воде затем этот принцип используется для вывода длинноволновых приближений Буссинеска и Кортевега — де Фриза. Кратко излагается теория резонансного почти линейного взаимодействия с использованием функции Лагранжа. После этого дается обзор предложенной автором теории медленно меняющихся цугов волн и ее приложений к теории волн Стокса. Приводится также теория возмущений Льюка для медленно меняющихся цугов волн. Наконец показано, как можно при помощи интегро-дифференциальных уравнений сформулировать более общие дисперсионные соотношения важное приложение этого подхода, развитое с некоторым успехом, может помочь разрешить давно стоящие трудности в понимании опрокидывания волн на воде, [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...