Больцмана лемма

Лемма 3. Пусть к удовлетворяет стационарному линеаризованному уравнению Больцмана уравнению (1.21) при-8 = 0) в области К, внешней к некоторой границе дЕ, на которой выполняются граничные условия обычного вида (1.15). Пусть тело имеет постоянную температуру Го, и пусть К будет возмущением максвелловского распределения /о с нулевой массовой скоростью, температурой То и плотностью роо, равной плотности газа на бесконечности. Тогда если определить [c.160]

Если бы в реальных течениях выполнялись все условия леммы 3, то из нее следовал бы очень неприятный результат единственно возможным состоянием, описываемым линеаризованным уравнением Больцмана, является состояние газа, покоящегося около твердого тела. Выясним, верен ли этот результат, если не предполагать выполненным неочевидное условие (6.2). Физически условие (6.2) означает, что на бесконечности отсутствуют источник и сток энтропии (—а есть вектор потока энтропии [c.161]

На основании леммы 2 теорема 7 доказывается без всякого труда. Действительно, если О, то I/(Я° )—решение линеаризованного уравнения Больцмана. В условиях теоремы 7 /7(Я°)) 11 Сб для некоторой постоянной s. Из леммы 2 следует, что если 4с4 5<1, то U является оператором сжатия в шаре [F f 2 5 . Отсюда следует, в частности, оценка точности линейного уравнения если f — решение задачи (1.1.4), [c.467]

Решение этого уравнения требует информации о свойствах полугруппы T t). Гиро [27] исследовал ее свойства для газа из упругих шаров, находящегося в ограниченной области с гладкой границей. Используя ряд дополнительных предположений технического характера, он доказал экспоненциальные оценки убывания T t) с ростом t и однозначную разрешимость начально-краевой задачи (11.9) — (11.11). В доказательстве Гиро существенно используется его неопубликованный результат о полной непрерывности десятой степени оператора UK, входящего в интегральное уравнение Больцмана (11.17). Из леммы 2.1 следует компактность первой степени этого оператора для всех жестких потенциалов. Этот факт и сформулированные выше теоремы о решениях линейных стационарных задач позволяют получить оценки полугруппы Т(t) и применить их к исследованию нелинейных задач. В качестве примера такого применения рассмотрим задачу (11.9) — (11.11) при ф+ = = ю(1, 1, О, g), М=0. Полагая f=o)" (F—ш), получаем следующую формулировку этой задачи [c.300]

Первым следствием этой леммы является знаменитая -теорема Больцмана (1872). Введем безразмерную функцию распределения [c.321]

Воспользовавшись леммой Больцмана, получим [c.322]

Согласно лемме Больцмана [c.423]

Подставляя сюда уравнение Больцмана, учитывая лемму и беря по частям интеграл с dP/dva, получаем [c.428]

Это решение должно удовлетворять следствию леммы Больцмана, приведенному в задаче 49. Непосредственная подстановка его в этот интеграл убеждает нас в том, что вследствие симметрии функции Р [c.430]

Для двумерных течений положение более сложно. Действительно, если рассмотреть, например, течение около осесимметричного тела, то можно доказать, что выводы леммы 3 справедливы, даже если отбросить условие (6.2) и требовать просто однозначности и ограниченности массовой скорости при г оо. Это следует из асимптотического анализа (Черчиньяни [5]) решения линеаризованного уравнения Больцмана для двумерных течений, когда доказывается, что условие (6.2) выполняется, если при г оо массовая скорость однозначна и ограничена. Чтобы получить нетривиальное решение для двумерных течений, приходится допустить логарифмическое поведение массовой скорости при г оо. Таким образом, при помощи линеаризованного уравнения Больцмана нельзя получить равномерную аппроксимацию распределения скорости и приходится прибегать к методу сращивания внутреннего решения (определяемого линеаризованным уравнением Больцмана) и внешнего решения, справедливого при г > ИМ. Последнее можно найти разложением по числу Маха, предварительно растягивая пространственные переменные. При формальном разложении по степеням М видно, что решение во внешней области подобно разложению Гильберта, если газодинамические переменные в приближении низшего порядка определяются несжимаемым течением Озеена (Черчиньяни [5]). [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...