Параметризация элементов групп Ли

Параметризация элементов групп Ли ) [c.62]

Старшие векторы неприводимых представлений в обобщенных углах Эйлера. Приведенные в предыдущих пунктах этого параграфа выражения для старших векторов справедливы для любого разложения элемента группы. Вместе с тем именно в рамках универсальной параметризации (см. 1.6) для них удается получить факторизованные по групповым параметрам формулы. [c.70]

При синтезе алгоритмов второй группы помимо ф(р) оказывается неизвестной и функция, описывающая сам объект (для пространственно некогерентного сигнала — это функция и г)). Таким образом с формальной точки зрения синтез алгоритмов второй группы отличается от синтеза алгоритмов первой группы только более обширной параметризацией, т. е. введением вектора у, который в общем случае имеет существенно большую размерность. Подробно эти вопросы исследуются в специальной монографии [51]. Сейчас же ограничимся рассмотрением алгоритмов первой группы и на их примере проиллюстрируем те особенности, которые возникают при обработке лазерного локационного сигнала в условиях неизвестных фазовых искажений. Часто подстройка фазового распределения осуществляется с помощью матрицы управляемых элементов, в каждом из которых может быть заданным образом изменено значение фазы. Тогда функцию ф(р) удобно аппроксимировать в виде ступенчатой функции. Обозначая через L число всех управляемых элементов, а через А область одного такого элемента, имеем [c.126]

Квадратичные операторы Казимира. В дальнейшем при изучении задачи квантования нелинейных динамических систем нам потребуются явные выражения для операторов Казимира 2-го порядка естественных вещественных форм комплексных полупростых групп Ли О. Вычислим их здесь для различных параметризаций группового элемента. [c.85]

Из анализа структуры системы положительных корней простых алгебр Ли (см. табл. II) следует существование такого упорядочения, при котором каждый суммарный корень располагается между своими составляющими. Фиксированное этим принципом расположение корней (вообще говоря, не единственное) будем называть Е+-упорядочением. Оно обладает следующим важным свойством. Именно, совокупность положительных (отрицательных) корней, расположенных правее любого наперед взятого корня в S+, и отрицательных (положительных) корней, расположенных левее его, образует корневую систему подалгебры . (Действительно, из определения S+-yno-рядочения с очевидностью вытекает, что сумма р 7 е / + любых двух положительных Р и 7 корней, лежащих левее некоторого корня а, расположена между р и v и, следовательно, левее ос.) Это упорядочение играет выделенную роль среди других способов расположения корней (не только по причине наиболее жесткой их фиксации). Оно обладает целым рядом замечательных особенностей, в частности, как мы увидим в дальнейшем, приводит к универсальной параметризации элементов всех компактных простых групп Ли Ж в обобщенных углах Эйлера, которая позволяет довольно просто получить факторизованные по этим углам выражения для инвариантной меры Хаара на Ж, старших векторов их неприводимых представлений, и т. п. [c.33]

Следует отметить, что разложения типа (6.16) и (6.19) являются естественным обобщением известных параметризаций элементов унитарной и ортогональной групп, соответственно, на случай произвольной компактной формы комплексных простых групп Ли, а параметры 0 , Фа, V/ играют роль обобщенных углов Эйлера. Факторизуемость выражений для инвариантной меры есть первое (но отнюдь не последнее) проявление замечательных свойств универсальной параметризации, о которых уже говорилось выше. [c.66]

В дальнейшем при построении явных выражений для инфини-тезимальных операторов сдвигов на группе Ли в той или иной параметризации ее элементов, мы будем исходить из соотношений [c.59]

Для полупростых групп Ли G существует универсальная параметризация, позволяющая в явном виде учесть зависимость произвольного элемента G от полного набора параметров, от которых он зависит. Ее эффективность и очевидные преимущества по сравнению с другими определяются выделенными свойствами Е+-упорялочения корней простых алгебр Ли, введенного в п. 5, I. 2. [c.65]

Все приведенные выше соотношения справедливы для групп Ли обш,его положения. Использование конкретных разложений полупростых групп Ли С в виде разложения Гаусса, Ивасава и Картана (см. I. 6) позволяет получить явные выражения для генераторов сдвига в соответствующ,ей параметризации групповых элементов. При этом процедура расчетов и структура окончательных выражений носит в известном смысле рекуррентный характер. Генераторы сдвигов на О записываются через генераторы сдвигов и матрицу присоединенного представления на подгруппах О, содержащихся в соответствующем ее разложении (т. е. максимальных нильпотентных, компактной и абелевой подгруппах О). Техника расчетов является совершенно одинаковой для всех этих параметризаций. Поэтому мы проиллюстрируем ее на примере разложения Ивасава (1.6.9), тогда как для остальных приведем лишь окончательные выражения. Все вычисления для определенности проведем для генераторов левых сдвигов правые находятся аналогично. [c.73]

Важный пример однозначного определения голоморфной функции по ее значениям в вещественной окрестности встречается -при изучении множеств голоморфных функций, преобразующихся по некоторому закону относительно Ь1 (см. теоремы 2-11 и 3-5). В этом случае мы имеем функцию, определенную на специальной группе Лоренца, и нам надо убедиться, что ее расншрение на комплексную группу Лоренца единственно. Это будет немедленно следовать из сказанного выше, если только нам удастся найти такую параметризацию группы Лоренца, что параметры, скажем А.1,..., вещественны и независимы для вещественной группы и комплексны и независшгы для комплексной группы, а функция, о которой идет речь, голоморфна по ним. При этом требуется только, чтобы параметризация работала в некоторой окрестности N тождественного элемента, потому что параметризацию для [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...