ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основы второго метода А. М. Ляпунова из "Небесная механика Аналитические и качественные методыИзд.2 " Однако, как хорошо известно, не существует никакого общего метода для такого интегрирования, так что, вообще говоря, уравнения (2.1) являются неинтегрируемыми, вследствие чего задача об устойчивости превращается в исключительно важную проблему качественной теории дифференииальных уравнений, а методы решения этой задачи являются одновременно методами качественной теории, или качественными методами. [c.75] Ляпунов предложил два метода решения задачи об устойчивости, которые он назвал соответственно первой методой и второй методой . [c.75] Первый метод, или метод характеристических чисел, основывается на разыскании общего решения системы (2.1) в виде бесконечных рядов особого вида, исследование которых и позволяет в ряде случаев решить поставленную задачу об устойчивости. Второй метод, или прямой метод Ляпунова (метод функций V Ляпунова), не зависит вовсе от разыскания тех или иных рядов, удовлетворяющих уравнениям возмущенного движения, а основывается на разыскании некоторых функций, удовлетворяющих некоторым, достаточно общим условиям. [c.75] Применение первого метода всегда требует длительных вычислений и громоздких выкладок, связанных с употреблением бесконечных рядов, а вместе с тем и тонких исследований сходимости, а поэтому этот метод оказывается мало удобным для решения вопроса об устойчивости и редко применяется. [c.75] Второй метод является гораздо более простым и вместе с тем более эффективным, и его мы здесь только и рассмотрим. [c.75] При этом всегда будем предполагать, что рассматриваемая функция V непрерывна и однозначна в области (2.15) и уничтожается, когда все равны нулю (при любом /). [c.75] Одновременно с функцией V будем рассматривать также ее полную производную по /, взятую в предположении, что величины Хе, рассматриваемые как функции t, удовлетворяют уравнениям возмущенного движения (2.1). [c.75] Функция V(1 Ха) рассматриваемого характера называется обыкновенно функцией Ляпунова. Ясно, что функция У [1 Ха), определенная формулой (2.16), или производная функции V в силу уравнений возмущенного движения также есть функция Ляпунова. [c.76] Кроме уже упомянутых свойств, функция Ляпунова может обладать и другими более специальными свойствами, для которых введем, следуя А. М. Ляпунову, некоторые особые названия. [c.76] Пусть при условиях (2.15) рассматриваемая функция V принимает, кроме равных нулю, значения только одного знака. [c.76] Такую функцию будем называть знакопостоянной. Когда же будет желательно отметить ее знак, то будем говорить, что она есть функция положительная или отрицательная. [c.76] Если функция V при условиях (2.15) может получать как положительные, так и отрицательные значения, то будем называть ее знакопеременной функцией. [c.76] Функцию V, удовлетворяющую этому условию, будем называть ограниченной, а в противном случае — неограниченной. [c.76] из двух вышеприведенных функций первая — ограниченная, а вторая — неограниченная. Полезно отметить, кроме того, что всякая функция Ляпунова, не зависящая от 1, есть всегда функция ограниченная, что вытекает просто из условия непрерывности этой функции. [c.77] Введем теперь важное понятие бесконечно малого высшего предела для функции Ляпунова. [c.77] Очевидно, что всякая функция Ляпунова, не зависящая от времени, заведомо допускает бесконечно малый высший предел в силу непрерывности, так как для такой функции определение существования бесконечно малого высшего предела просто совпадает с определением непрерывности. [c.77] Функция Ляпунова, допускающая бесконечно малый высший предел, обладает одним важным свойством, заключающимся в следующем. [c.77] Пусть V — функция, допускающая бесконечно малый высший предел. Тогда, если нам известно, что переменные удовлетворяют условиям /о, и 2де I есть некоторое положительное число, то отсюда следует, что обязательно найдется некоторое другое положительное число К, меньше которого не может быть наибольшая из величин х1 , х2, . .., Хп. [c.77] Доказательство заключается в простом рассуждении от противного. Действительно, если бы такое число Я не существовало, то все а з можно было бы выбрать сколь угодно малыми, а тогда, по свойству бесконечно малого высшего предела, и У было бы сколь угодно малым, что противоречит условию. Поэтому, если обозначим через х наибольшую из [Хз], то при заданном I обязательно найдется такое Я, зависящее от /, что при условии ]/ I будем иметь неравенство х к. [c.77] Вернуться к основной статье