Нормализация линейных гамильтоновых систем

Пусть теперь параметры задачи таковы, что имеет место устойчивость рассматриваемого периодического движения (5.15) в линейном приближении. Тогда, проведя нормализацию линейной системы указанным в 8 способом, функцию Гамильтона (6.4) можно привести к виду [c.227]

Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она сводится к проведению некоторых алгебраических операций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд ка, то можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения некоторой системы дифференциальных уравнений. [c.106]

Для доказательства необходимо получить нормальную форму гамильтониана (3.1) и по свойствам нормальной формы сделать выводы об устойчивости и неустойчивости. Прежде всего надо провести нормализацию гамильтониана Яа, соответствующего линейной системе. Согласно главе 2, задача линейной нормализации сводится к некоторым несложным алгебраическим операциям над коэффициентами гамильтониана Яа- После их проведения получаем [c.126]

Итак, пусть параметры е и ц соответствуют системе Солнце — Юпитер е = 0,04825382, ц = 0,00095388. Сначала нужно найти линейное нормализующее пребразование. Алгоритм его получения изложен в 5 главы 2. Линейная нормализация части гамильтониана, соответствующей пространственным переменным qs, Рз не требуется, так как пространственная часть гамильтониана уже с самого начала имеет нормальную форму. Займемся поэтому нормализацией части гамильтониана плоского движения. [c.182]

Нормализацию функции Гамильтона (8.6) можно провести обычным способом, например, используя алгоритм, аналогичный алгоритму Биркгофа, или используя алгоритм Депри — Хори. При этом на каждом шаге нормализации формы 6 ,2 приходится решать системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Однако в нашем случае функция Гамильтона содержит время w только через комбинации е sin w и е os W. Это позволяет нормализацию неавтономной канонической системы с функцией Гамильтона (8.6) свести к нормализации автономной системы (но уже с тремя степенями свободы). [c.222]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...