Множество Максвелла

Особенности множеств Максвелла [c.107]

Пример. Множество Максвелла семейства Лз функций х - -ах +Ьх — это луч (6=0, а О) иа плоскости параметров (рис. 54). [c.108]

Рис. 54. Определение множества Максвелла

Рнс. 56. Особенность множества Максвелла в пространстве [c.109]

Рис. 57. Типичные метаморфозы множеств Максвелла на плоскости

Рас. 68. Метаморфозы множеств Максвелла в R [c.111]

Мг — локальное множество Максвелла (совпадение локаль-шх минимумов) [c.113]

М4 — полное С-множество Максвелла. [c.113]

Расширенные множества Максвелла определены и для пус-гого Мг (когда критическая точка — не минимум). [c.113]

Полное множество Максвелла вблизи особенности Л5. (по В. И. Бахтину). [c.114]

Полное множество Максвелла особенности Л5 состоит из многочленов имеющих кратные критические значения. Эта трехмерная гиперповерхность в четырехмерном [c.114]

Рис. 61. Каустика и множества Максвелла для Л

Рис. 62. Каустика и множества Максвелла для 8

Рнс. 64. Двумерные сечення множества Максвелла для As [c.117]

Aif Аг.А Хт Рис. 65. Циферблат множества Максвелла для Аз [c.118]

Структура множеств Максвелла вблизи метаморфозы [c.120]

Пример. Для особенности Лз (рис. 54) база — плоскость. Каустика — полукубическая парабола, полное множество Максвелла — ее касательная в точке возврата. Вместе они делят плоскость на четыре части. [c.121]

Следствие. Общее число Уц компонент дополнения к каустике и полному множеству Максвелла особенности дает- я таблицей [c.123]

Особенности ударных волн и перестройки множеств Максвелла 53 [c.53]

Значения параметров, при которых функция максимума не является гладкой функцией параметров, образуют, для семейства общего положения, гиперповерхность в пространстве параметров. Будем называть эту гиперповерхность (малым) множеством Максвелла данного семейства (в связи с правилом Максвелла теории Ван дер Ваальса, согласно которому фазовый переход совершается при таком значении параметра, при котором два максимума некоторой гладкой функции равны между собой). Это малое множество Максвелла является частью большого множества Максвелла 2 1, состоящего из точек пространства параметров, при которых у соответствующей функции есть два равных [c.53]

Пример. Каустика и (локальное) множество Максвелла семейства [c.54]

Множества Максвелла. Рассмотрим семейство гладких ункций, зависящих от (/-мерного) параметра. Минимум функ-,ии типичного семейства гладко зависит от параметров, лишь ели этот минимум достигается в единственной и притом не-ырожденной (морсовской) критической точке. [c.107]

Определение. Множеством Максвелла семейства назы-ается множество всех значений параметра, при которых мини-[ум кратен, то есть достигается либо в неморсовской критичес-ой точке, либо в нескольких критических точках. [c.107]

Ниже особенности множеств Максвелла классифицируются с точностью до стабильного диффеоморфизма, то есть до диффеоморфизма произведения на евклидово пространство подходящей размерности. Например, луч на плоскости стабильно эквивалентен полуплоскости в трехмерном пространстве (и множеству Максвелла семейства функций с любым ббльщим 2 числом параметров). [c.108]

Таким образом, типичные особенности множеств Максвелла га плоскости и в трехмерном простраистве исчерпываются изо-5раженными на рис. 54, 55 и рис. 57 сверху соответственно. [c.109]

Представление о множествах Максвелла, лежащих в R можно получить, исследуя метаморфозы их трехмерных сечений. Все типичные метаморфозы множества Максвелла в R изображены на рис. 58 (И. А. Богаевский). [c.110]

Замечание. Метаморфозы множеств Максвелла встречаются, например, при исследовании ударных волн для потенциальных решений u = dS/dx уравнения Бюргерса duldt - -иди/дх — гАи с исчезающей вязкостью е-И) (см [53], [54]) или для более общих уравнений Я t, x)=eAS с [c.110]

Разрешенные направления метаморфоз ударных волн изображены на рис. 57 и 58 стрелками. Например, стрелка вниз у метаморфозы Л означает, что треугольник из ударных волн может исчезать, но не может рождаться. Общее правило согласно И. А. Богаевскому, таково метаморфозы (ударных волн в R2 и в R3) происходят в тех только тех направлениях, для которых локальная ударная волна после метаморфозы стягиваема. В частности, метаморфозы Л множеств Максвелла вовсе не реализуются ударными волнами, метаморфоза Л5 реализуется в обоих направлениях, метаморфоза Л — только в направление сверху вниз на рис. 58. [c.110]

Расширенные множества Максвелла. Аналитическое про-(олжение множества Максвелла включает следующие множе- тва (М1с М2с МзСг М4) в вещественном пространстве пара- етров [c.113]

Мз — полное К-множество Максвелла (совпадение критичес-шх значений в К ) [c.113]

Чтобы получить типичное сечение трехмерным пространством, хюединим. двумерные ея.ения. над точдсами, типичной кривой-на базе в одно трехмерное пространство. Прямой.i< 6..на рис. 65 отвечает поверхность рис. 66. Топологически это — конус над трилистником. Заштрихованная часть — множество Максвелла Ml (конкуренция абсолютных минимумов). При движении прямой, в момент /=0 происходит метаморфоза, и при t>0 на полном множестве Максвелла возникают сложные особенности. [c.116]

Дополним теперь куски плоскостей Н я V треугольниками Тн и Tv, заполняющими недостающие квадранты (рис. 67). Продолжим стропило за точку О пересечения всех четырех плоскостей и выберем на продолжении стропила Я точку на рис. 68). Пирамиды с вершиной в этой точке и основаниями Тн и 7 v дополняют построенный выше конус VHPW до поверхности с особенностями, гомеоморфной полному множеству Максвелла при >0. [c.118]

Лб. Обычное множество Максвелла М1 изображено на рис. 58. При переходе от глобальных минимумов (М1) к локальным (Мг) к множеству Мг добавляются три треугольника с основанием ЛИз—Л1Л3 и вершинами Л4, и Лг соответственно. Каждый из них имеет два нулевых и один ненулевой угол. Эти треугольники продолжают три ветви поверхности М., пересекающиеся по отрезку ЛИз—Л1Л3 попарно трансверсально (исключая концы). Один из этих треугольников продолжает Ту, а другой Тн, за ОЛ4 (ОЛ )- [c.120]

Полное Н-множество Максвелла Мз включает еще описанные выше тетраэдры с вершиной А и треугольник ОЛ4Л4, лежащий на W. Наконец, С-мноисестю Максвелла Л14 включает еще и части плоскостей (V, Н, W, Р), лежащие за линией Лз, имеющей в Л4 и Л4 обычные точки возврата и гладкой в точках Л1Л3. [c.120]

Исчисление компонент связности пространств невырож-денных многочленов. Рассмотрим компоненты связности, на которые полное множество Максвелла М4 и каустика локального семейства делят его базу. [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...