Открытие фата

Таким образом, из самого определения следует, что множество Жюлиа J является замкнутым подмножеством S, в то время как множество Фату S J является дополнительным к нему открытым подмножеством. Мы увидим, что точка ро принадлежит множеству Жюлиа тогда и только тогда, когда динамика в окрестности этой точки демонстрирует чувствительную зависимость от изменений начальных данных , то есть близкие начальные данные порождают совсем другой характер поведения траектории после большого (а иногда и не очень большого) числа итераций. (Ср. задачи 4-h, а также следствие 14.2.) [c.56]

И Фату, и Жюлиа использовали хорошо известные соотношения между мультипликаторами в неподвижных точках рационального отображения. Рассмотрим сначала изолированную неподвижную точку Zo = f zo), где f и —> С — голоморфная функция на открытом связном множестве U С С. Индексом неподвижной точки Zo отображения / называется вычет [c.170]

Задача 16-а. Пределы итераций. Дайте следующую, более точную, формулировку определяющего свойства множества Фату С J рациональной функции. Покажите, что если V — связное открытое подмножество С J, то множество всех пределов последовательных итераций /°" у при п 00 является [c.201]

Второе условие теоремы 17.8.1 было введено лишь из соображений удобства. В общем случае можно исследовать динамику комплексных отображений начиная с классической дихотомии для поведения орбит. Орбиты с простым поведением образуют множество Фату отображения. В случае голоморфного отображения естественным выражением этой простоты является понятие нормального семейства функций, т. е. равностепенно непрерывного семейства. Множество Фату — это множество точек, обладающих окрестностью, для которой итерации отображения / образуют нормальное семейство. Таким образом, оно открыто. Это понятие весьма естественно, так как нормальное семейство не только компактно в С -топологии (по теореме Арцела — Асколи П 1.24), но к тому же компактно в голоморфной топологии. Множество Жулиа определяется как дополнение этого множества и, следовательно, оно по определению замкнуто. Покажем, что в интересных случаях это множество непусто. [c.562]

Практические открытия Фарадея широко использовались, но на ность его воззрений долгое время никто не обращал внимания, эму же Фарадей не пользовался в своих трудах математическим фатом, а потому многие его мысли казались современникам недо-очно обоснованными, так как они аргументировались лишь логи-ими выводами из данных опыта. Взяв из арсенала достижений Фа- я все, что представляло интерес для практики, савременяики оста-> равнодушными к его передовым воззрениям. [c.311]

В качестве простого примера рассмотрим отображение возведения в квадрат з z i->- на . Весь открытый диск Р целиком содержится во множестве Фату этого отображения s, т. к. последовательные итерации s па любом компактном подмножестве равномерно сходятся к нулю. Аналогично, дополнение С Р содержится во множестве Фату, т. к. итерации s сходятся к постоянной функции z i->- оо вне Р. С другой стороны, если zq принадлежит единичной окружности, то в любой окрестности zq любой предел итераций должен обязятельпо иметь разрыв первого рода при пересечении единичной окружности. Это показывает, что множество Жюлиа J(s) является в точности единичной окружностью. [c.56]

Полностью эквивалентное утверждение состоит в том, что множество Фату вполне инвариантно. Действительно, для любого открытого множества II С 3 некоторая последовательность итераций равномерно сходится на компактных подмножествах в II тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность итераций равномерно сходится на компактных подмножествах в открытом множестве Оставшиеся детали предоставляюся читателю. [c.59]

Для голоморфного отображения 8 8 произвольной римановой поверхности множество Фату Га1ои(/) — это объединение всех открытых множеств II С 8 таких, что каждая последовательность итераций либо [c.74]

Замечание. В специальном случае, когда поверхность 8 является открытым подмножеством с компактным замыканием в большей римановой поверхности Т, это условие эквивалентным образом может быть переформулировано так точка г 8 принадлежит множеству Фату отображения f тогда и только тогда, когда для некоторой окрестности II точки г любая последовательность итераций /°" рассматриваемая как семейство отображений II Т, содержит подпоследовательность, которая локально-равномерно сходится к отобра- [c.74]

Определение. Для любого Л из замкнутого единичного диска Ш) определим размер сг Х) как максимальное из чисел а таких, что существует однозначное отображение ф С J f ) из открытого диска радиуса а во множество Фату отображения Д, удовлетворяющее уравнению Шрёдера в следующей форме [c.161]

Очевидно, что оба эти явления в случае одной комплексной переменной невозможны. Открытые множества, удовлетворяющие условию (1), называются областями Бибербаха - Фату, впервые они были построены Фату с помощью простых рассуждений, подобных приведенным здесь. Позднее, с помощью намного более сложных построений независимым образом они были получены Бибербахом. [c.285]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...