Качественная (топологическая) структура состояния равновесия

Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической системы. Внося точный смысл в интуитивно ясное понятие качественной. (топологической) структуры состояния равновесия, прежде всего нужно отчетливо сформулировать различие между собственной, или локальной, окрестностью состояния равновесия и областью, которая уже не является собственной окрестностью состояния равновесия. На рис. 30, а область внутри окружности, содержащая одно только состояние равновесия, очевидно, не является его собственной окрестностью, в то время как на рис. 30, б соответствующая область является собственной окрестностью состояния равновесия. [c.57]

Таким образом, логически последовательный путь изучения разбиения на траектории, казалось, должен был бы заключаться сначала в исчерпывающем решении вопросов первого круга, т. е. вопросов о том, каковы вообще свойства разбиения на траектории, чем определяется его топологическая структура и т. д., а затем уже в нахождении эффективных приемов исследования разбиения в целом. Однако порядок изложения, принятый в настоящей книге, не следует этому, если так мояшо выразиться, формально последовательно-му порядку мы сначала излагаем (в следующих трех главах) основные классические приемы эффективного исследования, которые позволяют рассмотреть ряд примеров и накопить некоторый наглядный материал, а затем уже переходим к более детальному исследованию свойств разбиения на траектории в целом. Отметим, что фактическое развитие качественной теории динамических систем не шло указанным формально последовательным путем. Такими классическими приемами эффективного исследования являются прежде всего методы исследования простейших состояний равновесия, излагаемые в следующей главе. [c.134]

В таком аспекте проводится в следующих главах рассмотрение вопроса о полном определении топологической структуры разбиения на траектории. Такой аспект, когда основными элементами, которыми непосредственно определяется качественная структура, являются характер состояний равновесия и знание предельных континуумов (а не расположение и характер ячеек), представляется естественным также с точки зрения фактического качественного исследования конкретных примеров (см. исследование примеров главы ХП). [c.315]

Указанный второй подход к определению топологической структуры разбиения на траектории (путем определения характера состояний равновесия, взаимного расположения предельных континуумов и хода сепаратрис) представляется наиболее естественным, так как он адекватен тому подходу, которым фактически проводится качественное исследование в тех случаях, когда существующие методы позволяют это сделать (см. ч. III). [c.57]

I. Топологически инвариантные свойства и топологическая структура разбиения на траектории. Перейдем теперь к основной задаче качественного исследования динамической системы — к установлению качественной картины разбиения фазовой плоскости на траектории. Рассмотрение приведенных в предыдущей главе частных примеров динамических систем приводит к мысли, что для знания качественной картины нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых особых траекторий. Таких особых траекторий в рассмотренных примерах было конечное число, и они разбивали всю совокупность траекторий на области, в которых траектории вели себя одинаково. Особыми траекториями в этих примерах были состояния равновесия, предельные циклы и траектории, стремя- [c.410]

Можно показать (ср. 3 настоящей главы), что если мы знаем совокупность особых траекторий, именно, знаем взаимное расположение состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис и знаем направление движения по сепаратрисам и предельным циклам, а также знаем характер устойчивости элементов притяжения и отталкивания (узлов, фокусов и предельных циклов), то этих знаний нам достаточно для однозначного установления топологической структуры разбиения на траектории, т. е. для полного качественного исследования грубой динамической системы. [c.457]

Следующим чрезвычайно важным вопросом является вопрос нахождения методов или приемов, с помощью которых можно было бы установить наличие или отсутствие предельных циклов. Этот вопрос также имеет очень большой интерес для приложений. Он является значительно более трудным, чем вопрос определения топологической структуры состояний равновесия, и значительно менее изученным. Для того чтобы ставить дальнейшие вопросы об эффективных приемах качественного исследования заданной динамической системы, нужно иметь сведения о том, чти именно необходимо знать о траекториях для определения топологичсско структуры разбиения на траектории. Но это, очевидно, означает, что мы должны иметь полный ответ на вопросы, принадлежащие первому аспекту. [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...