ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Качественная (топологическая) структура состояния равновесия из "Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости " Всякая область и, обладающая указанными в приведенном выше определения свойствами, называется собственной окрестностью состояния равновесия. [c.58] Как и всюду выше, предположим, что число особых траекторий рассматриваемой системы (А) в случае, когда система определена в ограниченной области, конечно в этой области, а в случае, когда эта система определена на всей плоскости, конечно зо всякой ограниченной области плоскости. [c.58] Установим при этом предположении возможный характер собственной окрестности состояния равновесия. [c.58] Состояние равновесия в этом случае называется центром. [c.59] Рассмотрим случай, когда в любой сколь угодно малой окрестности состояния равновесия О нет замкнутых траекторий. Пусть /о — окружность с центром в точке О столь малого радиуса го, что внутри 0, кроме О, не лежит целиком ни одна особая траектория. [c.59] Можно показать, что всякая положительная илп отрицательная полутраектория, целиком лежащая внутри такой окружности. стремится к состоянию равновесия О. [c.59] Если существует окружность Со радиуса го такая, что все траектории, проходящие через точки внутри некоторой окружности С радиуса г го при i+о° [1 —° ), не выходя из Со, стремятся к состоянию равновесия О, а при убывании (возрастании) i выходят из Со, то состояние равновесия О называется топологическим узлом. [c.59] Узел в примере 3 и фокус в примере 4 являются топологическими узлами. [c.59] Теорема 17. Если состояние равновесия О есть топологический узел, то в любой сколь угодно малой его окрестности можно указать цикл без контакта, содержащий это рд,. [c.59] Предположим, что существует траектория Ь, которая, не выходя из окружности С, стремится к состоянию равновесия при i -Ь оо и при i — ОС. [c.59] Пусть Сь — замкнутая кривая, состоящая из траектории Ь и точки О (рис. 31). Нетрудно показать, что всякая траектория Ь, проходящая через точку внутри Сь, стремится при i -Н оо и i — 00 к состоянию равновесия О и вместе с точкой О образует простую замкнутую кривую Сь - При этом каждая из двух областей, ограниченных двумя различными такими кривыми Сь п С/,//, лежит одна внутри другой. [c.59] Область, ограниченная кривой С , называется эллиптической или замкнутой узловой областью и обозначается через Две эллиптические области считаются различными, если они лежат одна вне другой. [c.59] Рассмотрим теперь две стремящиеся к состоянию равновесия полутраектории Ь и 2, имеющие точки вне окружности С (каждая из этих полутраекторий может быть как положительной, так и отрицательной) (рис. 32 и 33). [c.59] Рассмотрим область а, граница которой состоит из части М 0 полутраектории Ь и части М2О полутраектории 2, точки О и той из дуг окружности с с концами М и М2, на которой направление от точки М к М2 является движением против часовой стрелки на С. [c.60] Окружность с при такой терминологии не указывается это находится в согласии с тем, что сказанное ниже относительно характера области о не зависит от окружности С, если только радиус этой окружности меньше некоторого определенного числа го. Порядок, в котором перечисляются траектории Ц и //5, очевидно, не безразличен. [c.60] Если при этом нет другой узловой области (сектора), содержащей рассматриваемую, у которой по крайней мере одна из полутраекторий Ь и 2 является внутренней, то область между полутраекториями Ь и Ь2 назовем целым открытым узловым сектором или параболической областью сектором) и будем обозначать через N (рис. 34). Далее, говоря о целых открытых узловых областях (секторах), мы будем опускать слово целые . [c.61] Мы будем говорить, что сепаратрисы L и Li являются продолжением одна другой, если они ограничивают один и тот же гиперболический сектор. [c.61] Если у данного состояния равновесия существует замкнутая узловая эллиптическая область, то непременно существуют также две содержащиеся внутри С параболические области, сопровождающие эту замкнутую область. Эти области непосредственно примыкают к замкнутой узловой области, образованы частями перерезанных окружностью траекторий замкнутой узловой области ) (рис. 35). [c.61] Следующие предложения имеют простой геометрический смысл. [c.61] Вернуться к основной статье