Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими

Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями [c.166]

Приведем примеры, показывающие, что состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями может быть фокусом или центро-фокусом. [c.179]

Отметим, что одним из признаков существования области, заполненной замкнутыми траекториями, может служить существование у динамической системы аналитического интеграла в области, где существует состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями (которое в этом случае является центром). Это обстоятельство встречается в ряде рассмотренных ниже примеров (см. примеры 4, 7, 8, 11 12). [c.224]

При а = О О (О, 0) является состоянием равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями. [c.237]

Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями. Рассмотрим особо случай, когда А >0, а = О, т. е. корни характеристического уравнения чисто мнимые. [c.70]

I. При Я = Яо система имеет сложный фокус первого порядка, т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями, у которого первая ляпуновская величина Ьх = = аз( ) отлична от нуля. Вводя обозначения [c.227]

II. При Я = Яо система (Вх ) имеет сложный фокус первого порядка (т. е. состояние равновесия 0(Яо)) с чисто мнимыми характеристическими корнями [c.185]

Естественно рассмотреть в первую очередь бифуркации простейших негрубых элементов и, прежде всего, простейших негрубых состояний равновесия. В трехмерных системах, так же как и в двумерных, простейшими негрубыми являются состояния равновесия с двумя чисто мнимыми характеристическими корнями. Для них Ляпуновым аналогично двумерным системам введены ляпуновские величины . В простейших из этих состояний равновесия первая ляпуновская величина отлична от нуля. В этом простейшем случае в трехмерных системах состояния равновесия могут быть двух типов сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) и сложным седло-фокусом °). Далее, простейшими негрубыми состояниями равновесия в трехмерных системах могут быть двукратные состояния равновесия, возникшие в результате слияния двух простых. На рис. 253 показано образование двукратного состояния равновесия седло-фокус — фокус в результате слияния двух простых — седло-фокуса и устойчивого фокуса. При надлежащих изменениях правых частей системы двукратные состояния равновесия либо опять разделяются на простые, либо исчезают (см. [38 ]). На рис. 254 [c.471]

Речь идет о том, чтобы показать, что пассивное сопротивление с составляющими —-- х, —7 у, как бы мала ни была у, лишь бы она была положительной, приведет к тому, что состояние равновесия х = у = х = у = 0 не будет более устойчивым в будущем (даже линейно). На основании теоремы Ляпунова такое обстоятельство будет обеспечено, как только будет доказано, что как бы ни была мала т О, не все корни характеристического уравнения системы (34) будут чисто мнимыми, но между ними найдется по крайней мере один, действительная часть которого будет положительной. [c.401]

Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристич сними корнями. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями, как было указано в 5 гл. 3, может быть изучено после перехода к полярной системе координат путем рассмотрения функции последования г = /(го), построенной, например, на оси х. Рассмотрение такой функции последования для систем, близких к данной, т. е. построение функции последования [c.142]

Здесь рассматривается случай, когда система (А) имеет сложный фокус кратности тга > 1, т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями такое, что первый, не равный нулю коэффициент -а,- ( >1) функции последования есть [c.178]

В математической литературе в настоящее время при рассмотрении функциональных пространств, а также введенного в гл. 8 пространства динамических систем, используется понятие коразмерность . Не давая точного определения, поясним смысл этого понятия. В элементарном случае евклидова трехмерного пространства коразмерность 1 —множество точек (гладкая поверхность), задаваемое функцией Ф(ж, г/, г) = 0 с градиентом, не равным нулю коразмерность 2 соответствует трансвер-сальным (без касания) пересечениям двух гладких поверхностей коразмерность 3 соответствует точке. В ге-мерном пространстве коразмерность 1 задается одним условием—Ф( ь Ж2,. .., ж ) = 0—это гладкая гиперповерхность с числом измерений и—1 коразмерность 2 — гладкая гиперповерхность с числом измерений п — 2 и т. д. Таким образом, в евклидовом пространстве понятие коразмерности не вносит ничего нового по сравнению с числом измерений. Когда рассматривается функциональное пространство, точками которого являются, например, динамические системы, о числе измерений, как правило, говорить уже невозможно. Однако можно (по аналогии с конечномерными) ввести понятия гладкое функциональное соотношение , гладкая гиперповерхность , удовлетворяющая одному функциональному соотношению между элементами этого пространства, а также понятие трансверсальное пересечение. Тогда множество элементов этого пространства, удовлетворяющее одному функциональному соотношению,— это множество коразмерности 1. Множество элементов, удовлетворяющих п функциональным соотношениям, определяющим п гладких гиперповерхностей, пересекающихся трансверсально,— множество коразмерности п. Пусть у динамической системы х — Р, у = Q есть единственный негрубый элемент — простое состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями и не равной нулю первой ляпуновской величиной. Если рассматривать всевозможные системы х = Р, у = Q, близкие к данной, на которые накладывается единственное требование сохранения чисто мнимых корней для близкого состояния равновесия (т. е. требование Р + = 0)> то динамические системы, удовлетворяющие этому условию, лежат на гиперповерхности коразмерности 1 в пространстве динамических систем ( гладкость этой поверхности устанавливается с использованием понятия обобщенный градиент ). На гиперповерхности коразмерности 2 лежат, напри- [c.182]

Примеры. С примером состояния равновесия, пмеющим чисто мнимые характеристические корни и являющегося центром, мы угкс встречались, рассматривая линейную спстему [c.179]

II. Бифуркации сложного фокуса первого порядка, т. е. состояния равновесия О с чисто мнимыми характеристическими корнями ( -1 = гЬ, к.2 = — 6) и с не равной нулю первой ляпуновской величиной ( 3 = 1= =0). Как было указано (см. 5 гл. 3), в случае состояния равновесия с чисто мнимыми корнями все полупрямые с концом в точке О не имеют контактов с траекториями в достаточно малой окрестности О, и на достаточно близкой к О части (с концом в О) любой из таких полупрямых может быть построена функция последования, которая в рассматриваемом случае имеет вид [c.165]

Теорема 4 (о рождении предельного цнкла из сложного фокуса). Если состояние равновесия О системы с чисто мнимыми характеристическими корнями является сложным фокусом кратности к> I, то при любых е > О и > О всегда существует такая Ь-близкая к системе (А) система (А), у которой в е-окрестности состояния равновесия О существует по крайней мере один предельный цикл. [c.143]

Вводные замечания. В настоящем параграфе мы рассмотрим последний иэ неречрюленных в 6 случаев простого состояния равновесия, именно, случай 4), когда корни характеристического уравнения чисто мнимые. Как уже было сказано, исследование в этом случае значительно более сложно, чем в случаях 1) — 3), и требует привлечения членов правых частей степени выше первой. Метод исследования, которым мы воспользуемся, применим, однако, как для чисто мнпмых, так и для комплексных характеристических корней с действительными частями, не равными нулю. Поэтому мы будем вести изложение для более общего случая комплексных характеристических чисел [c.166]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...