Численные эксперименты с простыми динамическими системами

Только в том случае, когда производная дН/др / ( i) зависит лишь от первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уменьшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению dH/dpi = / (qi). Преобразование к переменным действие — угол удовлетворяет даже более жесткому условию dHidpi == onst. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы, и симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость (N изолирующих интегралов) для системы с N степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов. [c.47]

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых моделях. Как мы видели выше, бифуркации удвоения периода найдены и во многих динамических системах с малой размерностью, таких, как аттрактор Рёслера, отображение Хенона, уравнение Дюффинга и др. [Некоторые эксперименты по конвекции Рэлея—Бенара обнаруживают эти бифуркации, а также некоторые признаки их универсальности. Спектры скорости высокого разрешения в эксперименте Рэлея—Бенара с водой, показанные на рис. 7.33 [155, 157], демонстрируют некоторые из бифуркаций удвоения. Было проведено также сравнение экспериментальных значений амплитуд субгармоник с предсказаниями модели Фейгенбаума. Как показано в п. 7.26, отношение амплитуд развитых субгармоник должно быть равным у х 6,6. На рис. 7.33,г [c.482]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...