ФУНКЦИИ Фабера

Для этого используется разложение функции gi в ряд по полиномам Фабера [88], сходящийся на контуре к-го отверстия. Это разложение имеет вид [c.81]

Отметим, что формулы (4.2.9)-(4.2.11) являются точными, но итоговое представление функции Ф будет приближенным, поскольку при вычислении интегралов используются разложения в ряд. Алгоритмы вычисления интегралов типа Коши от функций вида (4.2.3) и разложения функций этого вида в ряд по полиномам Фабера изложены далее в данном параграфе (стр. 146, 149). [c.143]

Разложение в ряд по полиномам Фабера. Пусть F(z z) — функция вида (4.2.1) и требуется найти разложение этой функции в ряд по полиномам Фабера [88], сходящийся на [c.147]

Фабера функцию д гп) = ( m с) . Это разложение имеет вид [c.147]

Разложение в ряд по полиномам Фабера функции = [c.147]

В большинстве случаев эта операция применяется к результатам разложения некоторой функции в ряд по полиномам Фабера. Реализована эта операция следующим образом. Пусть [c.148]

Полиномы Фабера [88, 111] играют важную роль в теории приближения функций комплексного переменного. Ряды по полиномам Фабера служат для представления аналитических функций в односвязных областях. Эти ряды являются естественным обобщением рядов Тейлора с круга на односвязную область. [c.226]

Таким образом, в случае круга полиномы Фабера есть целые неотрицательные степени отображающей функции, а ряды по полиномам Фабера совпадают с рядами Тейлора. [c.227]

Вернемся к рассмотрению полиномов Фабера в общем случае. Обозначим через Гд линию на плоскости 2 , которая при отображении = ф z) переходит в окружность = R 1. Такие линии называются линиями уровня функции Грина области D. Поскольку отображение = ф z) конформно и однолистно, то при R > 1 линия Гя есть замкнутая правильная аналитическая кривая. А при R = I линия Fi есть граница Г области G. Внутреннюю область, ограниченную линией Гд, обозначим через а внешнюю область, ограниченную этой линией — через Dr. [c.227]

Из этой формулы следует, что полиномы Фабера фп ) являются коэффициентами Лорана в разложении функции [c.228]

Таким образом, функция F t z) определенная формулой (III.9), является производящей функцией для полиномов Фабера фп ). Перепишем формулу (111.10) в виде [c.228]

По формуле (III. 12) можно последовательно вычислять полиномы Фабера для заданной области G, если известны коэффициенты /3 1, / о, /3/с,. .. в разложении функции со ( ), которая отображает внешность единичного круга на внешность этой области. Напомним, что 0о( ) = 1- [c.228]

Заметим, что полиномы Фабера полностью определяются отображающей функцией ш ). При этом можно не выяснять, какой вид имеет область G, а рассматривать разложение (Ш.7) функции ш ) как исходное. [c.229]

Рассмотрим теперь ряды по полиномам Фабера. Любая функция /( ), которая является аналитической в ограниченной односвязной области G, может быть разложена в этой области в ряд по полиномам Фабера [c.229]

Коэффициенты в разложениях (111.14), (III. 15) называются коэффициентами Фабера функции f z) относительно области G. [c.230]

На практике важно знать, каковы области сходимости рядов (III.14), (III.15) и как определить коэффициенты ап- Ответ на вопрос о сходимости дает следующая теорема [88, 111. Теорема 1. Всякая функция f z) аналитическая в области G и на ее границе разлагается в ряд Фабера сходящийся равномерно во всей этой области и на ее границе. [c.230]

Если функция f z) удовлетворяет условиям теоремы 1, т.е. является аналитической в заданной области и на ее границе, то коэффициенты Фабера могут быть определены по формуле [c.230]

Следует иметь в виду также, что в случае некруговых отверстий рационально, по-видимому, представлять искомые аналитические функции в виде рядов по полиномам Фабера ). Косвенные подтверждения этому содержатся в самой работе [3.39]. [c.251]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...