Качение тел как пример неголономных систем

КАЧЕНИЕ ШАРА (ПРИМЕР НЕГОЛОНОМНОЙ СИСТЕМЫ) [c.218]

Качение тела. Ранее были указаны два простых, хотя и несколько искусственных примера неголономных систем кривая преследования ( 1.8) и планиметр ( 2.1). Наиболее часто с неголономными системами мы встречаемся в задачах, связанных с качением одного тела по другому. Рассмотрим твердое тело, положение и ориентация которого в пространстве определяются шестью координатами , г], 0,, 02, 0з (см. 5.1, п. 5). Для заданной частицы тела [c.81]

В повседневной жизни часто встречается движение, при котором одна поверхность катится по другой. Примерами могут служить колеса транспортных средств, катящиеся по опорной поверхности, шарикоподшипниковые соединения, мельничные жернова и многие другие устройства. Часто это — механические системы с неголономны-ми связями. Здесь мы рассмотрим простейшие модели, связанные с качением. [c.508]

Если связь неголономная, то выражающие ее уравнения не могут быть использованы для исключения зависимых координат. Примером, который часто в этом случае приводится, может служить тело, катящееся по шероховатой поверхности. Координаты, определяющие положение этой системы, можно разбить на две группы на группу угловых координат, определяющих ориентацию данного тела, и на группу координат, определяющих его положение на поверхности. Но если качение происходит без скольжения, то эти две группы координат оказываются зависимыми, так как изменение в ориентации тела неизбежно приводит к изменению его положения на поверхности. Однако уменьшить число координат этой системы мы не можем, так как условие качения не выражается в виде уравнения типа (1.35), связывающего координаты. Скорее оно является условием, ограничивающим скорости (скорость точки касания равна нулю). Таким образом, это условие является дифференциальным, и проинтегрировать его раньше, чем задача будет решена, невозможно. [c.24]

Из числа пропагандистов точки зрения Г. Герца прежде всего следует назвать А. Пуанкаре и П. Аппеля. А. Пуанкаре дал оригинальное доказательство неголономного характера задачи о чистом качении шара по неподвижной плоскости (пример Герца), показав, что варьированная кривая, совместимая с неголономными связями, не является кинематически возможной траекторией системы. Вслед за этим, трактуя понятие вариации в классическом смысле, он категорически исключил принцип Гамильтона — Остроградского из неголономной механики. [c.90]

Шар, катяидийся без скольжения по шероховатой поверхности, является простейшим примером неголономной системы. Задача о качении однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости разрешена и ее решение содержится, в частности, в книге [I]. Однако решение этой простейшей задачи не доведено еще, на наш взгляд, до полной ясности. Так, апример, Мак-Миллан приводит дифференциальные уравнения движения шара для углов Эйлера, но из этих уравнений получает только один интеграл — постоянную проекцию угловой скорости шара на вертикальную ось. А будут ли постоянными две другие проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат, остается неизвестным. [c.47]

Хотя у нас нет намерения входить в подробности, касающиеся неголономных связей, есть один интересный класс неголономных связей, на котором нам хочется хотя бы коротко остановиться. Речь идет о неинтегрируемых связях. В качестве примера физической системы, где встречаются такие связи, мы можем взять обруч (см. задачу Ха 4 к этой главе). Если через хну обозначить координаты точки, в которой обруч касается земли, а через 6 —угол, показывающий, на сколько повернулся обруч, условие чистого качения имеет вид1 бл а + б//2 = У 2б0а, [c.60]

Теория понижения порядка лагранжевых систем с очевидными изменениями переносится на неголономную механику. Для того, чтобы осуществить факторизацию по группе симметрий неголономной системы, нужно дополнительное предположение об инвариантности связей относительно действия этой грурпы. Примером может служить задача Чаплыгина о качении щара по горизонтальной плоскости (см. пример 5) Эта задача допускает группу поворотов 50(2) шара относи тельно вертикальной прямой, проходящей через его центр Группа 50(2) сохраняет связи и порождающее ее поле яв ляется полем возможных скоростей. Исключение группы по воротов фактически проведено нами в примере 5 методом Пуассона. [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...