Лагранжиан усредненный

Лагранжиан системы N частиц. Впервые задача N тел поставлена И. Ньютоном в момент времени = о известны положения и скорости частиц необходимо найти положения частиц в любой момент времени. Уже при N = 3 уравнения движения неразрешимы в квадратурах, несмотря на то, что в задаче N тел известны десять интегралов. Последующие достижения в решении проблемы связаны с использованием ЭВМ [33, 42] и применением приближенных методов исследования теории возмущений и метода усреднения [30, 43]. [c.64]

Другое преимущество вариационного подхода состоит в том, что основные уравнения (11.80)—(11.82) остаются неизменными, если среда медленно изменяется с изменением х и Это имеет место, например, в том случае, когда параметры а, р, -у в выражениях (11.76) зависят от X и Если изменение за один период мало, то усредненный лагранжиан можно получить так же, как и раньше, пренебрегая изменениями параметров а, р и "у за один период (и вкладами производных от со, к, а и т]). Тогда усредненный вариационный принцип (11.79) предлагается в прежнем виде с единственным исключением теперь X зависит от х и i явно, а не только через функции а (х, ) и 6 (х, ). Однако вариационные уравнения остаются без изменения следует только быть внимательным и учитывать дополнительные производные, возникающие при преобразованиях уравнений. В частности, энергетическое уравнение, как легко проверить, принимает вид [c.381]

Обобщение на большее число пространственных измерений очевидно. Для плоской периодической волны решение имеет вид ф = = Ч (0), где 0 = 0 (х, I) зависит от вектора х, и распространение происходит в направлении волнового вектора к = 0., . Усредненный лагранжиан переходит в X (со, к, А), и становятся возможными модуляции в пространстве (т. е. медленно изгибающиеся фазовые поверхности). Уравнения модуляций имеют впд (11.80) — [c.483]

Полученный при их помощи усредненный лагранжиан является функцией от двух наборов а , Ьа, а также от со и к. Соответствующий вариационный принцип [c.483]

Вычислим сначала усредненный лагранжиан для периодического движения при фиксированном значении параметра %. Если период равен т = 2n/v, то [c.487]

В низшем порядке модуляционного приближения усредненный лагранжиан находится подстановкой периодического решения (16.68) в выражение (13.17). Для начала мы рассмотрим случай, когда дно горизонтально, и выберем начало отсчета у = О j дна, так что hf, = 0. Имеем [c.532]

Для глубокой воды, когда кЬо 1, индуцированные изменения параметров /г. и Р пренебрежимо малы. Этого следовало ожидать заранее, но зто подтверждается и явно формулами (16.99). Усредненный лагранжиан (16.73) принимает вид [c.538]

Для заданного потока со скоростью Пд предыдущие доводы относятся скорее к р — 17о, чем к самому параметру Р, и в пределе глубокой воды усредненный лагранжиан модифицируется [c.539]

Далее получаем усредненный лагранжиан [c.543]

Усреднение с использованием лагранжианов [c.233]

Подставляя эти выражения в (5.8.4), получим лагранжиан, неявно зависящий от X и t через функции 0, а, оз, к и A . Члены, зависящие от 0, в выражении этого лагранжиана периодичны по 0 с периодом 2я. При изменении 0 на интервале [О, 2л] остальные параметры претерпевают очень малое изменение. Поэтому с изменением х и t изменение лагранжиана L, обусловленное зависимостью от 0, происходит намного быстрее, чем изменение, обусловленное зависимостью от остальных параметров. Как и в других разновидностях метода усреднения, величину L следует усреднить по 0 на интервале от О до 2п, предполагая а, (U, к и A постоянными. С этой целью усредним сначала отдельно каждый член в L. Будем иметь [c.235]

Усредненный лагранжиан явно зависит от а и неявно — от 0 ч(ерез посредство со и ft. Запишем теперь уравнения Эйлера—Лагранжа, соответствующие переменным а и 0. Уравнение Эйлера—Лагранжа, соответствующее а, будет иметь вид д 1да==0 отсюда получаем дисперсионное соотношение [c.236]

Нетривиальна зависимость от температуры масс квазичастиц (рис. 4). Масса частицы Голдстоуна равна нулю на всем интервале от О до Тс, а масса второй квазичастицы пропорциональна модулю параметра порядка и монотонно падает от значения л/2д при Т = О до нуля при Т = Тс. В самой точке Тс обе массы исчезают, что и соответствует росту флуктуаций (инфракрасные особенности). При восстановлении симметрии (Т > Тс) можно было бы ожидать, что квадрат масс квазичастиц будет, как и в исходном лагранжиане (13), отрицательным это, однако, привело бы к нестабильности системы (см. п. 9). И в самом деле, оказывается, что квазичастицы в рассматриваемой области приобретают обычные массы, растущие с ростом Т от нулевого значения в точке Тс. Здесь проявляется чисто тепловой вклад в массу квазичастицы, существующий независимо от спонтанного нарушения симметрии. Все сказанное можно без труда усмотреть из уравнения (17) после его усреднения с учетом флуктуационного члена. [c.191]

На первый взгляд можно ожидать, что уравнение (11.87) представляет собой усредненное энергетическое уравнение (11.70). Но примеры показывают, что множитель / (к) в и множитель (к) не совпадают. В то же время существует стандартный метод, ассоциирующий с вариационным принципом соответствующее энергетическое уравнение. Теорема Нётер утверждает, что каждой группе преобразований, относительно которой лагранжиан инва- [c.379]

Для пространственных модуляций мы предположим, что. локально волну можно описать как периодический во.лновой пакет, распространяющийся в направ.лении во.лнового вектора к. Это определяет усредненный. лагранжиан, и в простейших с.лучаях, когда отсутствуют псевдочастоты, он принимает вид (w, к, а), где со — частота, а а — амплитуда э.лектрического по.ля. В почти линейном с.лучае X (со, к, а) дается равенством (16.22) ск = к . [c.519]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...